设A为3阶实对称矩阵，是齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，且矩阵A-6E不可逆。 (Ⅰ)求齐次线性方程组(A一6E)x＝0的通解； (Ⅱ)求正交变换x＝Qy将二次型XTAX化为标准形； (Ⅲ)求(A一3E)100。

admin2019-11-02 23

问题设A为3阶实对称矩阵，

是齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，且矩阵A-6E不可逆。
(Ⅰ)求齐次线性方程组(A一6E)x＝0的通解；
(Ⅱ)求正交变换x＝Qy将二次型X^TAX化为标准形；
(Ⅲ)求(A一3E)¹⁰⁰。

选项

答案(Ⅰ)首先，因为矩阵A-6E不可逆，所以λ＝6是矩阵A的一个特征值；其次，因为[*]是齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，所以λ＝0是矩阵A的二重特征值，所以A的特征值为0，0，6。齐次线性方程组(A-6E)x＝0的通解是矩阵A的属于特征值λ＝6的特征向量。因为A为3阶实对称矩阵，从而属于不同特征值的特征向量正交。设[*]是矩阵A的属于特征值λ＝6的一个特征向量，则[*]解得[*],所以齐次线性方程组(A-6E)x＝0的通解为[*]为任意常数。（Ⅱ）下面将向量组[*]正交化。令 [*] 下面将向量组β₁β₂β₃单位化。令 [*] 令 [*] 则二次型x^TAx在正交变换x＝Qy，下的标准形为[*] （Ⅲ） [*] 所以 [*]

解析本题考点较为综合，包括特征值的定义、基础解系所含向量个数与系数矩阵秩之间的关系、实对称矩阵特征向量的正交性、矩阵的相似对角化以及方阵的幂的计算。

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考研数学一

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