设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2020-09-25 52

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k-1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

选项

答案设有关系式l₀α+l₁Aα+…+l_k-1A^k-1α=0，用A^k-1左乘上式两边，有 l₀A^k-1α+l₁A^kα+…+l_k-1A^2k-2α=0．由A^kα=0知当l≥k时A^lα=0，从而可将上式变为l₀A^k-1α=0．而A^k-1α≠0，所以l₀=0．则关系式变为l₁Aα+l₂A²α+…+l_k-1A^k-1α=0，类似地，对等式两边左乘A^k-2，则可得l₁=0．依此类推，可得l₂=…=l_k-1=0．所以α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

解析

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