2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2020-09-25  39
问题 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．
选项
答案设有关系式l0α+l1Aα+…+lk-1Ak-1α=0，用Ak-1左乘上式两边，有 l0Ak-1α+l1Akα+…+lk-1A2k-2α=0． 由Akα=0知当l≥k时Alα=0，从而可将上式变为l0Ak-1α=0．而Ak-1α≠0，所以l0=0． 则关系式变为l1Aα+l2A2α+…+lk-1Ak-1α=0，类似地，对等式两边左乘Ak-2，则可得l1=0． 依此类推，可得l2=…=lk-1=0．所以α，Aα，…，Ak-1α线性无关．
解析
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考研数学三

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