设A,B,C均是3阶矩阵,满足AB=2B,CAT=2C其中 证明:对任何3维向量ξ,A100ξ与ξ必线性相关.

admin2021-07-27  32

问题 设A,B,C均是3阶矩阵,满足AB=2B,CAT=2C其中
证明:对任何3维向量ξ,A100ξ与ξ必线性相关.

选项

答案因Aβi=-2βi(i=1,2),故A100βi=(-2)100βi=2100βi(i=1,2).因Aα1=2α1,故A100α1=2100α1.对任意的3维向量ξ,因β1,β2,α1线性无关,ξ可由β1,β2,α1线性表示,且表示法唯一.设ξ=μ1β12β23α1,则A100ξ=A1001β12β23α1)=μ1A100β12A100β23A100α112100β122100β232100α1=21001β12β23α1)=2100ξ.得证A100ξ和ξ成比例,A100ξ和ξ线性相关.

解析
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