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设二次型f(x,x,x)=-2x1x2-2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=,求常数a,b及所用正交变换矩阵Q.
设二次型f(x,x,x)=-2x1x2-2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=,求常数a,b及所用正交变换矩阵Q.
admin
2016-01-23
95
问题
设二次型f(x,x,x)=
-2x
1
x
2
-2x
1
x
3
+2ax
2
x
3
通过正交变换化为标准形f=
,求常数a,b及所用正交变换矩阵Q.
选项
答案
二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)及其经正交变换后的标准形所对应的矩阵分别为 A=[*],A=[*] 由题设可知A~A,故有 [*] 于是矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-1. 求解方程组(2E-A)x=0的基础解系,得λ
1
=λ
2
=2对应的特征向量为α
1
=(1,0,-1)
T
,α
解析
本题考查用正交变换化二次型为标准形问题——见到二次型x
T
Ax经正交变换化为标准形y
T
Ay,就要想到矩阵A与A相似,从而A与A有“四等五相似”,以此可得a,b.然后再求出A的特征值、特征向量即可.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/uRw4777K
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考研数学一
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