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  3. 设二次型f(x，x，x)=-2x1x2-2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=，求常数a，b及所用正交变换矩阵Q．

设二次型f(x，x，x)=-2x1x2-2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=，求常数a，b及所用正交变换矩阵Q．

admin2016-01-23  61
问题 设二次型f(x，x，x)=-2x1x2-2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=，求常数a，b及所用正交变换矩阵Q．
选项
答案二次型f(x1，x2，x3)及其经正交变换后的标准形所对应的矩阵分别为 A=[*]，A=[*] 由题设可知A～A，故有 [*] 于是矩阵A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=-1． 求解方程组(2E-A)x=0的基础解系，得λ1=λ2=2对应的特征向量为α1=(1，0，-1)T，α
解析 本题考查用正交变换化二次型为标准形问题——见到二次型xTAx经正交变换化为标准形yTAy，就要想到矩阵A与A相似，从而A与A有“四等五相似”，以此可得a，b．然后再求出A的特征值、特征向量即可．
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考研数学一

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