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求曲面z=1+χ2+y2上任一点(χ0,y0,z0)的切平面与z=χ2+y2所围成立体Ω的体积,以及当(χ0,y0,z0)=(0,0,1)时Ω的表面积.
求曲面z=1+χ2+y2上任一点(χ0,y0,z0)的切平面与z=χ2+y2所围成立体Ω的体积,以及当(χ0,y0,z0)=(0,0,1)时Ω的表面积.
admin
2018-06-12
64
问题
求曲面z=1+χ
2
+y
2
上任一点(χ
0
,y
0
,z
0
)的切平面与z=χ
2
+y
2
所围成立体Ω的体积,以及当(χ
0
,y
0
,z
0
)=(0,0,1)时Ω的表面积.
选项
答案
①先求曲面z=1+χ
2
+y
2
在[*]点(χ
0
,y
0
,z
0
)处的切平面方程为 z=z
0
+2χ
0
(χ-χ
0
)+2y
0
(y-y
0
), 即z=1-χ
0
2
-y
0
2
+2χ
0
χ+2y
0
y. ②再求切平面与z=χ
2
+y
2
的交线在χy平面上的投影,由 [*] 消去z得(χ-χ
0
)
2
+(y-y
0
)
2
=1. 因此投影曲线为(χ-χ
0
)
2
+(y-y
0
)=1,z=0. ③求立体的体积. 记D:(χ-χ
0
)
2
+(y-y
0
)
2
≤1,则切平面与z=χ
2
+y
2
所围成立体的体积 V=[*][(1-χ
0
2
-y
0
2
+2χ
0
χ+2y
0
y)-(χ
2
+y
2
)]dχdy =[*]{1-[(χ-χ
0
)
2
+(y-y
0
)
2
]}dχdy=π-[*], [*] ④当(χ
0
,y
0
,z
0
)=(0,0,1)时求Ω的表面积. Ω的表面由平面部分S
1
:z=1(χ
2
+y
2
≤1)及旋转抛物面部分S
2
:z=χ
2
+y
2
(χ
2
+y
2
≤1)组成,记D:χ
2
+y
2
≤1,则 S
1
的面积A
2
=π, S
2
的面积 [*] 因此,表面积A=A
1
+A
2
=[*]π.
解析
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