2. 考研
  3. 求曲面z＝1＋χ2＋y2上任一点(χ0，y0，z0)的切平面与z＝χ2＋y2所围成立体Ω的体积，以及当(χ0，y0，z0)＝(0，0，1)时Ω的表面积．

求曲面z＝1＋χ2＋y2上任一点(χ0，y0，z0)的切平面与z＝χ2＋y2所围成立体Ω的体积，以及当(χ0，y0，z0)＝(0，0，1)时Ω的表面积．

admin2018-06-12  36
问题 求曲面z＝1＋χ2＋y2上任一点(χ0，y0，z0)的切平面与z＝χ2＋y2所围成立体Ω的体积，以及当(χ0，y0，z0)＝(0，0，1)时Ω的表面积．
选项
答案①先求曲面z＝1＋χ2＋y2在[*]点(χ0，y0，z0)处的切平面方程为 z＝z0＋2χ0(χ－χ0)＋2y0(y－y0)， 即z＝1－χ02－y02＋2χ0χ＋2y0y． ②再求切平面与z＝χ2＋y2的交线在χy平面上的投影，由 [*] 消去z得(χ－χ0)2＋(y－y0)2＝1． 因此投影曲线为(χ－χ0)2＋(y－y0)＝1，z＝0． ③求立体的体积． 记D：(χ－χ0)2＋(y－y0)2≤1，则切平面与z＝χ2＋y2所围成立体的体积 V＝[*][(1－χ02－y02＋2χ0χ＋2y0y)－(χ2＋y2)]dχdy ＝[*]{1－[(χ－χ0)2＋(y－y0)2]}dχdy＝π－[*]， [*] ④当(χ0，y0，z0)＝(0，0，1)时求Ω的表面积． Ω的表面由平面部分S1：z＝1(χ2＋y2≤1)及旋转抛物面部分S2：z＝χ2＋y2(χ2＋y2≤1)组成，记D：χ2＋y2≤1，则 S1的面积A2＝π， S2的面积 [*] 因此，表面积A＝A1＋A2＝[*]π．
解析
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考研数学一

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