2. 考研
  3. (1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根； (2)记(1)中的实根为xn，证明存在，并求此极限．

(1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根； (2)记(1)中的实根为xn，证明存在，并求此极限．

admin2016-04-08  183
问题 (1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根；
(2)记(1)中的实根为xn，证明存在，并求此极限．
选项
答案(1)根据题意，令f(x)=xn+xn-1+…+x一1．则f(1)＞0，再根据 [*] 结合零点定理可得,[*]至少存在一个零点，即方程xn+xn-1+…+x=1在区间 [*] 内至少有一个实根．又因为f(x)=xn+xn-1+…+x-1在 [*] 上是单调的，可知f(x)=xn+xn-1+…+x一1在[*] 内最多只有一个零点．综上所述，方程xn+xn-1+…+x=1在区间 [*] 内有且仅有一个实根． (2)由题设f(xn)=0，可知xnn+xnn-1+…+xn一1=0，进而有xn+1n+1+xn+1n+…+xn+1一1=0，所以xn+1n+xn+1n-1+…+xn+1一1＜0，比较上面两个式子可知xn+1＜xn，故{xn}单调递减．又由(1)知[*]， 也即{xn}是有界的．则由单调有界收敛定理可知{xn}收敛，假设[*]=a，可知a＜x2＜x1=1．当n→∞时， [*]
解析
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考研数学二

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