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(1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根; (2)记(1)中的实根为xn,证明存在,并求此极限.
(1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根; (2)记(1)中的实根为xn,证明存在,并求此极限.
admin
2016-04-08
138
问题
(1)证明方程x
n
+x
n-1
+…+x=1(n为大于1的整数)在区间
内有且仅有一个实根;
(2)记(1)中的实根为x
n
,证明
存在,并求此极限.
选项
答案
(1)根据题意,令f(x)=x
n
+x
n-1
+…+x一1.则f(1)>0,再根据 [*] 结合零点定理可得,[*]至少存在一个零点,即方程x
n
+x
n-1
+…+x=1在区间 [*] 内至少有一个实根.又因为f(x)=x
n
+x
n-1
+…+x-1在 [*] 上是单调的,可知f(x)=x
n
+x
n-1
+…+x一1在[*] 内最多只有一个零点.综上所述,方程x
n
+x
n-1
+…+x=1在区间 [*] 内有且仅有一个实根. (2)由题设f(x
n
)=0,可知x
n
n
+x
n
n-1
+…+x
n
一1=0,进而有x
n+1
n+1
+x
n+1
n
+…+x
n+1
一1=0,所以x
n+1
n
+x
n+1
n-1
+…+x
n+1
一1<0,比较上面两个式子可知x
n+1
<x
n
,故{x
n
}单调递减.又由(1)知[*], 也即{x
n
}是有界的.则由单调有界收敛定理可知{x
n
}收敛,假设[*]=a,可知a<x
2
<x
1
=1.当n→∞时, [*]
解析
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考研数学二
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