设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+y’+qy=Q(x)有特解y=3e－4x+x2+3x+2，则Q(x)=，该微分方程的通解为_．

admin2017-08-31 87

问题设二阶常系数非齐次线性微分方程y^’’+y^’+qy=Q(x)有特解y=3e^－4x+x²+3x+2，则Q(x)=________，该微分方程的通解为_________．

选项

答案Q(x)=2＋2x＋3—12(x²+3x+2)=一12x²－34x一19，通解为y=C₁e^－4x＋C₂e^3x+x²＋3x＋2(其中C₁，C₂为任意常数)

解析显然λ=一4是特征方程λ²+λ+q=0的解，故q=－12，
即特征方程为λ²+λ一12=0，特征值为λ₁=一4，λ₂=3．
因为x²+3x+2为微分方程y^’’+y^’一12y=Q(x)的一个特解，
所以Q(x)=2＋2x＋3—12(x²+3x+2)=一12x²－34x一19，
且通解为y=C₁e^－4x＋C₂e^3x+x²＋3x＋2(其中C₁，C₂为任意常数)．

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