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设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4x+x2+3x+2,则Q(x)=________,该微分方程的通解为_________.
设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4x+x2+3x+2,则Q(x)=________,该微分方程的通解为_________.
admin
2017-08-31
102
问题
设二阶常系数非齐次线性微分方程y
’’
+y
’
+qy=Q(x)有特解y=3e
-4x
+x
2
+3x+2,则Q(x)=________,该微分方程的通解为_________.
选项
答案
Q(x)=2+2x+3—12(x
2
+3x+2)=一12x
2
-34x一19, 通解为y=C
1
e
-4x
+C
2
e
3x
+x
2
+3x+2(其中C
1
,C
2
为任意常数)
解析
显然λ=一4是特征方程λ
2
+λ+q=0的解,故q=-12,
即特征方程为λ
2
+λ一12=0,特征值为λ
1
=一4,λ
2
=3.
因为x
2
+3x+2为微分方程y
’’
+y
’
一12y=Q(x)的一个特解,
所以Q(x)=2+2x+3—12(x
2
+3x+2)=一12x
2
-34x一19,
且通解为y=C
1
e
-4x
+C
2
e
3x
+x
2
+3x+2(其中C
1
,C
2
为任意常数).
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