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已知向量组α1,α2,…,αs线性无关,若β=l1α1+l2α2+…+lsαs,其中li≠0,证明用β替换αi后所得向量组α1,αi-1,β,αi+1,…,αs线性无关.
已知向量组α1,α2,…,αs线性无关,若β=l1α1+l2α2+…+lsαs,其中li≠0,证明用β替换αi后所得向量组α1,αi-1,β,αi+1,…,αs线性无关.
admin
2018-06-12
49
问题
已知向量组α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,若β=l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
s
α
s
,其中l
i
≠0,证明用β替换α
i
后所得向量组α
1
,α
i-1
,β,α
i+1
,…,α
s
线性无关.
选项
答案
由于α
1
,…,α
i-1
,β,α
i+1
,…,α
s
可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表出,用矩阵表示有 (α
1
,…,α
i-1
,β,α
i+1
,…,α
s
)=(α
1
,α
2
,…,α
s
)C,其中 [*] 记A=(α
1
,…,α
i-1
,β,α
i+1
,…,α
s
),B=(α
1
,α
2
,…,α
s
),即A=BC,因为l
i
≠0,C是s阶可逆矩阵,故 r(A)=r(BC)=r(B)=r(α
1
,…,α
s
)=s. 所以向量组α
1
,…,α
i-1
,β,α
i+1
,…,α
s
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/uUg4777K
0
考研数学一
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