已知向量组α1,α2,…,αs线性无关,若β=l1α1+l2α2+…+lsαs,其中li≠0,证明用β替换αi后所得向量组α1,αi-1,β,αi+1,…,αs线性无关.

admin2018-06-12  27

问题 已知向量组α1,α2,…,αs线性无关,若β=l1α1+l2α2+…+lsαs,其中li≠0,证明用β替换αi后所得向量组α1,αi-1,β,αi+1,…,αs线性无关.

选项

答案由于α1,…,αi-1,β,αi+1,…,αs可用α1,α2,…,αs线性表出,用矩阵表示有 (α1,…,αi-1,β,αi+1,…,αs)=(α1,α2,…,αs)C,其中 [*] 记A=(α1,…,αi-1,β,αi+1,…,αs),B=(α1,α2,…,αs),即A=BC,因为li≠0,C是s阶可逆矩阵,故 r(A)=r(BC)=r(B)=r(α1,…,αs)=s. 所以向量组α1,…,αi-1,β,αi+1,…,αs线性无关.

解析
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