已知向量组α1，α2，…，αs线性无关，若β＝l1α1＋l2α2＋…＋lsαs，其中li≠0，证明用β替换αi后所得向量组α1，αi-1，β，αi+1，…，αs线性无关．

admin2018-06-12 54

问题已知向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关，若β＝l₁α₁＋l₂α₂＋…＋l_sα_s，其中l_i≠0，证明用β替换α_i后所得向量组α₁，α_i-1，β，α_i+1，…，α_s线性无关．

选项

答案由于α₁，…，α_i-1，β，α_i+1，…，α_s可用α₁，α₂，…，α_s线性表出，用矩阵表示有 (α₁，…，α_i-1，β，α_i+1，…，α_s)＝(α₁，α₂，…，α_s)C，其中 [*] 记A＝(α₁，…，α_i-1，β，α_i+1，…，α_s)，B＝(α₁，α₂，…，α_s)，即A＝BC，因为l_i≠0，C是s阶可逆矩阵，故 r(A)＝r(BC)＝r(B)＝r(α₁，…，α_s)＝s．所以向量组α₁，…，α_i-1，β，α_i+1，…，α_s线性无关．

解析

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考研数学一

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已知向量组α1，α2，…，αs线性无关，若β＝l1α1＋l2α2＋…＋lsαs，其中li≠0，证明用β替换αi后所得向量组α1，αi-1，β，αi+1，…，αs线性无关．

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