2. 考研
  3. 设f(χ)在(－∞，＋∞)连续，以T为周期，令F(χ)＝∫0χ(t)dt，求证： (Ⅰ)F(χ)一定能表示成：F(χ)＝kχ＋φ(χ)，其中k为某常数，φ(χ)是以T为周期的周期函数 (Ⅱ) (Ⅲ)若又有f(χ)≥0(χ∈(－∞，＋

设f(χ)在(－∞，＋∞)连续，以T为周期，令F(χ)＝∫0χ(t)dt，求证： (Ⅰ)F(χ)一定能表示成：F(χ)＝kχ＋φ(χ)，其中k为某常数，φ(χ)是以T为周期的周期函数 (Ⅱ) (Ⅲ)若又有f(χ)≥0(χ∈(－∞，＋

admin2016-10-21  54
问题 设f(χ)在(－∞，＋∞)连续，以T为周期，令F(χ)＝∫0χ(t)dt，求证：
    (Ⅰ)F(χ)一定能表示成：F(χ)＝kχ＋φ(χ)，其中k为某常数，φ(χ)是以T为周期的周期函数
    (Ⅱ)
    (Ⅲ)若又有f(χ)≥0(χ∈(－∞，＋∞))，n为自然数，则当nT≤χ＜(n＋1)T时，有
    n∫0Tf(χ)dχ≤∫0χ(t)dt＜(n＋1)∫0T(χ)dχ．
选项
答案(Ⅰ)即确定常数k，使得φ(χ)＝F(χ)－kχ以T为周期．由于 φ(χ＋T)＝F(χ＋T)－k(χ＋T)＝∫0χf(t)dt－kχ＋∫0χ+Tf(χ)dt－kT ＝φ(χ)＋∫0Tf(t)dt－kT 因此，取k＝[*]∫0Tf(t)dt，φ(χ)＝F(χ)－kχ，则φ(χ)是以T为周期的周期函数．此时 F(χ)＝[*]∫0Tf(t)dt]χ＋φ(χ)． (Ⅱ)不能用洛必达法则．因为[*]不存在，也不为∞．但∫0χ(t)dt可表示成 ∫0χf(t)dt＝[*]∫0Tf(t)dt＋φ(χ)． φ(χ)在(－∞，＋∞)连续且以T为周期，于是，φ(χ)在[0，T]有界，在(－∞，＋∞)也有界．因此 [*] (Ⅲ)因f(χ)≥0，所以当nT≤χ<(n＋1)T时， n∫0Tf(t)dt＝∫0nTf(t)dt≤∫0χf(t)dt＜∫0(n+1)Tf(t)dt＝(n＋1)∫0T(t)dt．
解析
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考研数学二

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