设f(χ)在(-∞,+∞)连续,以T为周期,令F(χ)=∫0χ(t)dt,求证: (Ⅰ)F(χ)一定能表示成:F(χ)=kχ+φ(χ),其中k为某常数,φ(χ)是以T为周期的周期函数 (Ⅱ) (Ⅲ)若又有f(χ)≥0(χ∈(-∞,+

admin2016-10-21  33

问题 设f(χ)在(-∞,+∞)连续,以T为周期,令F(χ)=∫0χ(t)dt,求证:
    (Ⅰ)F(χ)一定能表示成:F(χ)=kχ+φ(χ),其中k为某常数,φ(χ)是以T为周期的周期函数
    (Ⅱ)
    (Ⅲ)若又有f(χ)≥0(χ∈(-∞,+∞)),n为自然数,则当nT≤χ<(n+1)T时,有
    n∫0Tf(χ)dχ≤∫0χ(t)dt<(n+1)∫0T(χ)dχ.

选项

答案(Ⅰ)即确定常数k,使得φ(χ)=F(χ)-kχ以T为周期.由于 φ(χ+T)=F(χ+T)-k(χ+T)=∫0χf(t)dt-kχ+∫0χ+Tf(χ)dt-kT =φ(χ)+∫0Tf(t)dt-kT 因此,取k=[*]∫0Tf(t)dt,φ(χ)=F(χ)-kχ,则φ(χ)是以T为周期的周期函数.此时 F(χ)=[*]∫0Tf(t)dt]χ+φ(χ). (Ⅱ)不能用洛必达法则.因为[*]不存在,也不为∞.但∫0χ(t)dt可表示成 ∫0χf(t)dt=[*]∫0Tf(t)dt+φ(χ). φ(χ)在(-∞,+∞)连续且以T为周期,于是,φ(χ)在[0,T]有界,在(-∞,+∞)也有界.因此 [*] (Ⅲ)因f(χ)≥0,所以当nT≤χ<(n+1)T时, n∫0Tf(t)dt=∫0nTf(t)dt≤∫0χf(t)dt<∫0(n+1)Tf(t)dt=(n+1)∫0T(t)dt.

解析
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