设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,表示“M的充分必要条件是N”,则必有________。

admin2022-10-08  40

问题 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,表示“M的充分必要条件是N”,则必有________。

选项 A、F(x)是偶函数f(x)是奇函数
B、F(x)是奇函数f(x)是偶函数
C、F(x)是周期函数f(x)是周期函数
D、F(x)是单调函数f(x)是单调函数

答案A

解析 解法一
任一原函数可表示为F(x)=∫0xf(t)dt+C,且F’(x)=f(x)
当F(x)为偶函数时,有F(-x)=F(x),于是F’(-x)·(-1)=F’(x),即-f(-x)=f(x),也即f(-x)=-f(x),可见f(x)为奇函数。
反过来,若f(x)为奇函数,则∫0xf(t)dt为偶函数,从而F(x)=∫0xf(t)dt+C为偶函数,可见A为正确选项。
解法二
令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除B,C;令f(x)=x,则取F(x)=x2,排除D,选A。
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