设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”,则必有________。

admin2022-10-08 57

问题设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，

表示“M的充分必要条件是N”,则必有________。

选项 A、F(x)是偶函数

f(x)是奇函数
B、F(x)是奇函数

f(x)是偶函数
C、F(x)是周期函数

f(x)是周期函数
D、F(x)是单调函数

f(x)是单调函数

答案A

解析解法一
任一原函数可表示为F(x)=∫₀^xf(t)dt+C,且F’(x)=f(x)
当F(x)为偶函数时，有F(－x)=F(x),于是F’(－x)·(－1)=F’(x),即－f(－x)=f(x),也即f(－x)=－f(x)，可见f(x)为奇函数。
反过来，若f(x)为奇函数，则∫₀^xf(t)dt为偶函数，从而F(x)=∫₀^xf(t)dt+C为偶函数，可见A为正确选项。
解法二
令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除B,C；令f(x)=x，则取F(x)=

x²，排除D，选A。

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