2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=2f’(ξ)/(1-ξ)．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=2f’(ξ)/(1-ξ)．

admin2022-10-09  22
问题 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=2f’(ξ)/(1-ξ)．
选项
答案令φ(x)=(x-1)2f’(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导．由f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，1)∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2(x-1)f’(x)+(x-1)2f"(x)，所以2(ξ-1)f’(ξ)+(ξ-1)2f"(ξ)=，整理得f"(x)=2f’(ξ)/(1-ξ)．
解析
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考研数学三

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