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设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=2f’(ξ)/(1-ξ).
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=2f’(ξ)/(1-ξ).
admin
2022-10-09
44
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=2f’(ξ)/(1-ξ).
选项
答案
令φ(x)=(x-1)
2
f’(x),显然φ(x)在[0,1]上可导.由f(0)=f(1)=0,根据罗尔定理,存在c∈(0,1),使得f’(c)=0,再由φ(c)=φ(1)=0,根据罗尔定理,存在ξ∈(c,1)∈(0,1),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=2(x-1)f’(x)+(x-1)
2
f"(x),所以2(ξ-1)f’(ξ)+(ξ-1)
2
f"(ξ)=,整理得f"(x)=2f’(ξ)/(1-ξ).
解析
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考研数学三
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