设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt． (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

admin2014-11-26 52

问题设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫_-a^a|x-t|f(t)dt．
(Ⅰ)证明：F’(x)单调增加．
(Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a²一1时，求函数f(x)．

选项

答案(Ⅰ)F(x)=∫_-a^a|x-t|f(t)dt=∫_-a^x(x—t)f(t)dt+∫_x^a(t一x)f(t)dt=x∫_-a^xf(t)dt-∫_-a^atf(t)dt+∫_x^atf(t)dt-x∫_x^af(t)dt=x∫_-a^xf(t)dt-∫_-a^atf(t)dt-∫_a^xtf(t)dt+x∫_a^xf(t)dt F’(x)=∫_-a^xf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫_a^xf(t)dt+xf(x)=∫_a^xf(t)dt—∫_t^af(t)dt 因为F"(x)=2f(x)＞0，所以F’(x)为单调增加的函数． (Ⅱ)因为F’(0)=∫_-a⁰f(x)dx—∫₀^a∫(x)dx且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为F"(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小点，也为最小点．故最小值为F(0)=∫_-a^a|t|f(t)dt=2∫₀^atf(t)dt． (Ⅲ)由2∫₀^atf(t)dt=f(a)一a²一1两边求导得 2af(a)=f’(a)-2a，于是f’(x)一2xf(x)=2x，解得f(x)=[∫2xe^∫-2xdxdx+C]e^-∫-2xdx=[*]一1，在2∫₀^atf(t)dt=f(a)一a²一1中令a=0得f(0)=1，则C=2，于是f(x)=[*]一1．

解析

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设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt． (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

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设向量组α1=[1，l，1，2]T，α2=[3，a+4，2a+5，a+7]T，α3=[4，6，8，10]T，α4=[2，3，2a+3，5]T；β=[0，1，3，6]T．求：向量组α1，α2，α3，α4的秩及一个极大线性无关组；

设线性方程组在有解的情况下，给出导出组的一个基础解系；

非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则()．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=[-1，2，-1]T，α2=[0，-1，1]T是方程组Ax=0的两个解．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．

设矩阵，α=[1，k，-1]T是A的伴随矩阵A*的一个特征向量，求满足条件的常数k．

[*]首先，对于初等矩阵Eij的幂。有以下公式：因此，E122=E，E123=E12，又矩阵右乘E12，等价于将该矩阵的第一列与第二列互换，即有

设f(x)为连续的奇函数，平面区域D由y=—x3x=1与y=1围成，计算

设f(u)为连续函数，则二次积分在直角坐标系下化为二次积分_______.

已知函数F(u,v,ω)可微，F’u(0，0，0)=1，F’v(0，0，0)=2，F’ω(0，0，0)=3，函数z=f(x，y)由F(2x—y+3z，4x2一y2+z2，xyz)=0确定，且满足f(1，2)=0，则f’x(1，2)=________.

设F(u，v)可微，y=y(x)由方程F[xex+y,f(xy)]=x2+y2所确定，其中f(x)是连续函数且满足关系式∫1xyf(t)dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt，x，y＞0，又f(1)=1，求：f(x)的表达式；

《归档文件整理规则》提出的整理方法适用于（）

______theadvancesofscience,thediscomfortsofoldagewillnodoubtalwaysbewithus.

关于诊断早期妊娠，下列说法错误的是

患者女性，38岁。患子宫肌瘤拟行子宫肌瘤切除术，术日晨，护士为其插导尿管，其目的是

下列风管安装要求，正确的有()。

为了解决超额累进税费计算复杂的问题，累进税率表中一般规定有(　　)。

在学习过程中，学生忘记了作为例证的事实与细节，记住的是概括性高的原理，这种遗忘是一种有利的、积极的遗忘。()

CORBA是由OMG组织为解决分布式处理环境中软硬件系统互连而提出的一种解决方案，已经逐渐成为分布计算技术的标准。CORBA标准主要分为三个层次，其中规定业务对象有效协作所需的协议规则的层次是______。

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下列风管安装要求，正确的有()。

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