首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt. (Ⅰ)证明:F’(x)单调增加. (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt. (Ⅰ)证明:F’(x)单调增加. (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
admin
2014-11-26
70
问题
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt.
(Ⅰ)证明:F’(x)单调增加.
(Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a
2
一1时,求函数f(x).
选项
答案
(Ⅰ)F(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt=∫
-a
x
(x—t)f(t)dt+∫
x
a
(t一x)f(t)dt=x∫
-a
x
f(t)dt-∫
-a
a
tf(t)dt+∫
x
a
tf(t)dt-x∫
x
a
f(t)dt=x∫
-a
x
f(t)dt-∫
-a
a
tf(t)dt-∫
a
x
tf(t)dt+x∫
a
x
f(t)dt F’(x)=∫
-a
x
f(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫
a
x
f(t)dt+xf(x)=∫
a
x
f(t)dt—∫
t
a
f(t)dt 因为F"(x)=2f(x)>0,所以F’(x)为单调增加的函数. (Ⅱ)因为F’(0)=∫
-a
0
f(x)dx—∫
0
a
∫(x)dx且f(x)为偶函数,所以F’(0)=0,又因为F"(0)>0,所以x=0为F(x)的唯一极小点,也为最小点.故最小值为F(0)=∫
-a
a
|t|f(t)dt=2∫
0
a
tf(t)dt. (Ⅲ)由2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
一1两边求导得 2af(a)=f’(a)-2a,于是f’(x)一2xf(x)=2x,解得f(x)=[∫2xe
∫-2xdx
dx+C]e
-∫-2xdx
=[*]一1,在2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
一1中令a=0得f(0)=1,则C=2,于是f(x)=[*]一1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ue54777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设向量组α1=[1,l,1,2]T,α2=[3,a+4,2a+5,a+7]T,α3=[4,6,8,10]T,α4=[2,3,2a+3,5]T;β=[0,1,3,6]T.求:a,b满足何种条件时,β不能由α1,α2,α3,α4线性表示;
非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则().
设方程组问:a,b为何值时,方程组有无穷多解,并求其通解.
设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(z)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及到x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一S2
试在微分方程=2y一x的一切解中确定一个解y=y(x),使得曲线y=y(x)与直线x=1,x=2及y=0所围平面图形绕y=0旋转一周的旋转体体积最小。
函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可偏导是函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续的().
已知随机变量X的概率密度为f(x)=,求(1)常数a,b的值;(2)。
某湖泊水量为V,每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为,流入湖泊内不含A的水量为,流出湖的水量为,设1999年底湖中A的含量为5m0,超过国家规定指标,为了治理污染,从2000年初开始,限定排入湖中含A的污水浓度不超过,问至多经过多少年,湖中污染物A的含量降
设A=,为A中aij(i,j=1,2,3)的代数余子式,二次型的矩阵为B求可逆矩阵P,使得PTAP=B
设总体X的概率密度为其中θ为未知参数且大于零.X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本.求θ的矩估计量;
随机试题
哮喘的病机关键是
关于牙本质龋脱矿层,错误的说法是
引起风险事件发生的五个基本因素中,不包括( )。
关于路基工程石方施工安全要点的说法错误的是()。
汽车、轴承及自行车的生产一般属于()。
征收作为政府的行政行为之一,必须体现合法行政的原则精神,而合法行政原则的一个基本要求,就是()。
某企业2012年1月1日购入一台设备交付使用,价值960000元,采用年数总和法计提折旧,预计使用4年,预计净残值60000元。该台设备2014年应计提折旧()万元。
劳动教养的时间,从通知收容之日起计算,通知以前先行羁押的,1日折抵劳动教养2日。( )
根据以下资料,回答下列问题。2013年上半年,浙江省规模以上工业企业营业收入和利润总额分别为28544.6和1380.2亿元,同比分别增长8.1%和13.0%,增幅比上年同期分别回升0.6和3.4个百分点:企业亏损面和亏损率分别为20%和12.7
下列关于宪法分类的表述,正确的有()。
最新回复
(
0
)