设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt． (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

admin2014-11-26 138

问题设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫_-a^a|x-t|f(t)dt．
(Ⅰ)证明：F’(x)单调增加．
(Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a²一1时，求函数f(x)．

选项

答案(Ⅰ)F(x)=∫_-a^a|x-t|f(t)dt=∫_-a^x(x—t)f(t)dt+∫_x^a(t一x)f(t)dt=x∫_-a^xf(t)dt-∫_-a^atf(t)dt+∫_x^atf(t)dt-x∫_x^af(t)dt=x∫_-a^xf(t)dt-∫_-a^atf(t)dt-∫_a^xtf(t)dt+x∫_a^xf(t)dt F’(x)=∫_-a^xf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫_a^xf(t)dt+xf(x)=∫_a^xf(t)dt—∫_t^af(t)dt 因为F"(x)=2f(x)＞0，所以F’(x)为单调增加的函数． (Ⅱ)因为F’(0)=∫_-a⁰f(x)dx—∫₀^a∫(x)dx且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为F"(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小点，也为最小点．故最小值为F(0)=∫_-a^a|t|f(t)dt=2∫₀^atf(t)dt． (Ⅲ)由2∫₀^atf(t)dt=f(a)一a²一1两边求导得 2af(a)=f’(a)-2a，于是f’(x)一2xf(x)=2x，解得f(x)=[∫2xe^∫-2xdxdx+C]e^-∫-2xdx=[*]一1，在2∫₀^atf(t)dt=f(a)一a²一1中令a=0得f(0)=1，则C=2，于是f(x)=[*]一1．

解析

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