设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt． (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

admin2014-11-26 56

问题设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫_-a^a|x-t|f(t)dt．
(Ⅰ)证明：F’(x)单调增加．
(Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a²一1时，求函数f(x)．

选项

答案(Ⅰ)F(x)=∫_-a^a|x-t|f(t)dt=∫_-a^x(x—t)f(t)dt+∫_x^a(t一x)f(t)dt=x∫_-a^xf(t)dt-∫_-a^atf(t)dt+∫_x^atf(t)dt-x∫_x^af(t)dt=x∫_-a^xf(t)dt-∫_-a^atf(t)dt-∫_a^xtf(t)dt+x∫_a^xf(t)dt F’(x)=∫_-a^xf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫_a^xf(t)dt+xf(x)=∫_a^xf(t)dt—∫_t^af(t)dt 因为F"(x)=2f(x)＞0，所以F’(x)为单调增加的函数． (Ⅱ)因为F’(0)=∫_-a⁰f(x)dx—∫₀^a∫(x)dx且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为F"(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小点，也为最小点．故最小值为F(0)=∫_-a^a|t|f(t)dt=2∫₀^atf(t)dt． (Ⅲ)由2∫₀^atf(t)dt=f(a)一a²一1两边求导得 2af(a)=f’(a)-2a，于是f’(x)一2xf(x)=2x，解得f(x)=[∫2xe^∫-2xdxdx+C]e^-∫-2xdx=[*]一1，在2∫₀^atf(t)dt=f(a)一a²一1中令a=0得f(0)=1，则C=2，于是f(x)=[*]一1．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ue54777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt． (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

考研数学一

设3维向量组α1，α2线性无关，β1，β2线性无关．证明存在非零3维向量ξ，ξ既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出；

已知方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)是同解方程组，求参数a，b，c．

设A为5×4矩阵，已知A有一个3阶子式大于零，且方程组Ax=0有非零解，则A经初等变换可化为标准形________．

设A为n阶可逆方阵，k为非零常数，则有()．

已知η1=[-3，2，0]T，η2=[-1，0，-2]T是线性方程组的两个解向量，求方程组的通解，并确定参数a，b，c．

设函数f(x，y)连续，则∫12dy∫1yf(x，y)dx+∫12dy∫y4—yf(x，y)dx=()．

已知随机变量X的概率密度为f(x)=，求(1)常数a，b的值；(2)。

设A＝，为A中aij(i,j＝1，2，3)的代数余子式，二次型的矩阵为B求可逆矩阵P，使得PTAP＝B

设(X1，X2，…，Xn)(n≥2)为标准正态总体，X的简单随机样本，则()．

使用泡沫钻井液钻进，机械钻速快，但钻头使用寿命短。()

企业把它的创新产品的价格定得相对较低，以吸引大量顾客，提高市场占有率。这种新产品定价策略是()

以下哪项是原发性糖尿病发生最主要的因素

计划至“十一五”期末，与“十五”期末相比，能源消费结构和总量都要加以控制和优化。下列选项中，()的消耗量增长幅度最大。

破产企业在人民法院受理破产案件前6个月至破产宣告之日的期间内，对未到期的债务提前清偿，根据（破产法)处理应为()。

唐乾陵、明十三陵、秦始皇陵的陵墓样式分别是()。

美国心理学家斯皮尔曼提出的智力理论是()。

下列哪一个选项的图形可以由题干的线条组成?

【F1】WiththeextensionofdemocraticrightsinthefirsthalfofthenineteenthcenturyandtheensuingdeclineoftheFederalis