设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt． (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

admin2014-11-26 88

问题设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫_-a^a|x-t|f(t)dt．
(Ⅰ)证明：F’(x)单调增加．
(Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a²一1时，求函数f(x)．

选项

答案(Ⅰ)F(x)=∫_-a^a|x-t|f(t)dt=∫_-a^x(x—t)f(t)dt+∫_x^a(t一x)f(t)dt=x∫_-a^xf(t)dt-∫_-a^atf(t)dt+∫_x^atf(t)dt-x∫_x^af(t)dt=x∫_-a^xf(t)dt-∫_-a^atf(t)dt-∫_a^xtf(t)dt+x∫_a^xf(t)dt F’(x)=∫_-a^xf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫_a^xf(t)dt+xf(x)=∫_a^xf(t)dt—∫_t^af(t)dt 因为F"(x)=2f(x)＞0，所以F’(x)为单调增加的函数． (Ⅱ)因为F’(0)=∫_-a⁰f(x)dx—∫₀^a∫(x)dx且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为F"(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小点，也为最小点．故最小值为F(0)=∫_-a^a|t|f(t)dt=2∫₀^atf(t)dt． (Ⅲ)由2∫₀^atf(t)dt=f(a)一a²一1两边求导得 2af(a)=f’(a)-2a，于是f’(x)一2xf(x)=2x，解得f(x)=[∫2xe^∫-2xdxdx+C]e^-∫-2xdx=[*]一1，在2∫₀^atf(t)dt=f(a)一a²一1中令a=0得f(0)=1，则C=2，于是f(x)=[*]一1．

解析

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设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt． (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

考研数学一

已知问λ取何值时，β可由α1，α2，α3线性表出，但表达式不唯一；

已知α1，α2，α3，α4为3维非零列向量，则下列结论：①如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关；②如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4也线性相关；③如果r(α1，α1+α2，α2+α

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3．A能否相似于对角矩阵，说明理由．

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3．证明α1，α2，α3线性无关；

设A是n阶矩阵，有Aξ=λξ，ATη=μη，其中λ，μ是实数，且λ≠μ，ξ，η是n维非零向量．证明：ξ，η正交．

、问λ为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．

利用极坐标计算二重积分ln(1+x2+y2)dxdy，其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围的位于第一象限的闭区域．

设方程y’+P(x)y=x2，其中P(x)=求在(一∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

(1-a+a2)(1-a3)按第一行展开，得递推关系式D5=(1-a)D4+aD3，依次递推即可．

在投掷两枚骰子的试验中，观察两枚骰子出现的点数，写出这一试验的样本空间．记X=两枚骰子出现的点数的和，Y=两枚骰子出现的最大点数．写出随机变量X和Y作为样本空间上的函数的表达式．

了解不孕症妇女有无排卵功能最简单的方法是

其诊断为其抬法是

阴盛格阳，可见亡阳可见

经血液传播的病毒性肝炎有

A、足少阴肾经B、足厥阴肝经C、足阳明胃经D、足太阴脾经E、足少阳胆经行于下肢内侧后缘的经脉是

设V是n维欧氏空间，α≠0是V中的一个固定向量，证明：V1={X｜(x，α)=0，x∈V}是V的子空间；

按使用的教学方法可以将课分为()。

在购房前，普通百姓主要考虑(　)。购房前在再次考虑得最多的是(　)。

Sixteenyearsago,EileenDoyle’shusband,anengineer,tookhisfourchildrenupforanearlymorningcupoftea,packingasma

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在购房前，普通百姓主要考虑( )。购房前在再次考虑得最多的是( )。

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在购房前，普通百姓主要考虑(　)。购房前在再次考虑得最多的是(　)。