首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt. (Ⅰ)证明:F’(x)单调增加. (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt. (Ⅰ)证明:F’(x)单调增加. (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
admin
2014-11-26
75
问题
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt.
(Ⅰ)证明:F’(x)单调增加.
(Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a
2
一1时,求函数f(x).
选项
答案
(Ⅰ)F(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt=∫
-a
x
(x—t)f(t)dt+∫
x
a
(t一x)f(t)dt=x∫
-a
x
f(t)dt-∫
-a
a
tf(t)dt+∫
x
a
tf(t)dt-x∫
x
a
f(t)dt=x∫
-a
x
f(t)dt-∫
-a
a
tf(t)dt-∫
a
x
tf(t)dt+x∫
a
x
f(t)dt F’(x)=∫
-a
x
f(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫
a
x
f(t)dt+xf(x)=∫
a
x
f(t)dt—∫
t
a
f(t)dt 因为F"(x)=2f(x)>0,所以F’(x)为单调增加的函数. (Ⅱ)因为F’(0)=∫
-a
0
f(x)dx—∫
0
a
∫(x)dx且f(x)为偶函数,所以F’(0)=0,又因为F"(0)>0,所以x=0为F(x)的唯一极小点,也为最小点.故最小值为F(0)=∫
-a
a
|t|f(t)dt=2∫
0
a
tf(t)dt. (Ⅲ)由2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
一1两边求导得 2af(a)=f’(a)-2a,于是f’(x)一2xf(x)=2x,解得f(x)=[∫2xe
∫-2xdx
dx+C]e
-∫-2xdx
=[*]一1,在2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
一1中令a=0得f(0)=1,则C=2,于是f(x)=[*]一1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ue54777K
0
考研数学一
相关试题推荐
已知二次型f(x1,x2,x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的,则t的取值范围是________.
已知ξ=[1,1,-1]T是矩阵的一个特征向量.确定参数a,b及ξ对应的特征值λ;
、问λ为何值时,方程组无解,有唯一解,有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解.
设f(u)为连续函数,则二次积分在直角坐标系下化为二次积分_______.
设函数f(x,y)连续,则∫12dy∫1yf(x,y)dx+∫12dy∫y4—yf(x,y)dx=().
设区域D是由曲线y=x2与x=y2在第一象限内围成的图形,y=x将D分成D1与D2,如图1-14-1所示,f(x,y)为连续函数,则().
设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在,=().
由结论可知,若令φ(x)=xf(x),则φˊ(x)=f(x)+xfˊ(x).因此,只需证明φ(x)在[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件.[*]
一个盒子内放有12个大小相同的球,其中有5个红球,4个白球,3个黑球.第一次随机地摸出2个球,观察后不放回,第二次随机地摸出3个球,记Xi表示第i次摸到的红球的数目(i=1,2);Yj表示第j次摸到的白球数,求:(X1,X2)的分布;
(1-a+a2)(1-a3)按第一行展开,得递推关系式D5=(1-a)D4+aD3,依次递推即可.
随机试题
在某项关于吸烟和肺癌的研究中,某医师认为其中的年龄是混杂因素,这里的混杂因素是指()
颈部肿块在下列哪个部位应考虑甲状腺腺瘤
周某为抢劫财物在某昏暗场所将王某打昏。周某的朋友高某正好经过此地,高某得知真相后应周某的要求提供照明,使周某顺利地将王某钱包拿走。关于本案,下列哪些选项是正确的?()
为促进加工贸易健康发展,规范加工贸易内销货物审价,海关对加工贸易内销货物审价重新做了规定,从2005年8月1日起施行。因此,下列说法正确的有()。
研究者试图预测的行为被称为()。
为了更好地开展群众路线实践活动,某单位组织三个部门全部职工去七个社区开展活动,已知三个部门职工人数之比为2:1:3,分布在七个社区的职工数恰成等差数列,则参加活动的职工总人数可能是()。
甲股份有限公司(以下简称甲公司)为增值税一般纳税人,适用的增值税税率为17%,适用的营业税税率为5%,所得税税率为25%,假定不考虑其他相关税费。商品销售价格中均不含增值税,销售商品时结转销售成本。甲公司销售商品、提供劳务均作为主营业务核算。2008年12
试述宪法与宪政的关系。
软件开发过程包括需求分析、概要设计、详细设计、编码、测试、维护等活动。程序流程设计在(29)活动中完成,软件的总体结构设计在(30)活动中完成并在(31)中进行说明。(2008年5月试题29~31)(29)
目前,在市场上销售的微型计算机中,标准配置的输入设备是
最新回复
(
0
)