设A为3阶实对称矩阵，若矩阵A满足A3+2A2-3A=0，则二次型xTAx经正交变换可化为标准形( )．

admin2021-07-27 55

问题设A为3阶实对称矩阵，若矩阵A满足A³+2A²-3A=0，则二次型x^TAx经正交变换可化为标准形( )．

选项 A、y₁²+2y₂²-3y₃²
B、-3y₁²+y₂²
C、3y₁²-y₂²
D、3y₁²-2y₂²-y₃²

答案B

解析方法一求解特征方程λ³+2A²-3λ=0．由λ³+2λ²-3λ=λ(λ+3)(λ-1)=0，解得矩阵A的三个特征值λ=-3，0，1，从而知，二次型对应的标准形为-3y₁²+y₂²．故选(B)．方法二将各选项给出的二次型标准形中显现的各自二次型矩阵的特征值一一代入特征方程验证．其中，选项(B)中显现的特征值λ=-3，0，1一一代入特征方程f(λ)=λ³+2λ²-3λ=0，均能满足方程，即f(3)=f(0)=f(1)=0，所以-3y₁²+y₂²为满足条件的二次型标准形．故选(B)．

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考研数学二

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