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已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2.求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.
已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2.求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.
admin
2014-01-26
57
问题
已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2.求f(x,y)在椭圆域
上的最大值和最小值.
选项
答案
[详解1] 由dz=2xdx-2ydy可知 z=f(x,y)==x
2
+y
2
+C. 由f(1,1)=2,得C=2,故 z=f(x,y)=x
2
-y
2
+2. 令[*],解得驻点(0,0). 在椭圆[*]上,z=x
2
-(4—4x
2
)+2,即 z=5x
2
-2(-1≤x≤1), 其最大值为[*],最小值为[*],再与f(0,0)=2比较,可知f(x,y)在椭圆域D上的最大值为3,最小值为-2. [详解2] 同详解1,得驻点(0,O). 用拉格朗日乘数法求函数在椭圆[*]上的极值. 设[*] 解得4个可能的极值点(0,2),(0,-2),(1,0)和(-1,0). 又 f(0,2)=-2,f(0,-2)=-2,f(1,0)=3,f(-1,0)=3,再与f(0,0)=2比较,得f(x,y)在D上的最大值为3,最小值为-2.
解析
[分析] 先由全微分的表达式求出f(x,y)的表达式,再求其最值.
[评注] 此题的新颖点在于要求极值的函数没有直接给出,需要根据全微分的表达式求出后再讨论其最值.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/uh34777K
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考研数学二
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