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  3. 已知函数z＝f(x，y)的全微分dz＝2xdx－2ydy，并且f(1，1)＝2．求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值．

已知函数z＝f(x，y)的全微分dz＝2xdx－2ydy，并且f(1，1)＝2．求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值．

admin2014-01-26  49
问题 已知函数z＝f(x，y)的全微分dz＝2xdx－2ydy，并且f(1，1)＝2．求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值．
选项
答案[详解1] 由dz＝2xdx－2ydy可知 z＝f(x，y)＝＝x2＋y2＋C． 由f(1，1)＝2，得C＝2，故 z＝f(x，y)＝x2－y2＋2． 令[*]，解得驻点(0，0)． 在椭圆[*]上，z＝x2－(4—4x2)＋2，即 z＝5x2－2(－1≤x≤1)， 其最大值为[*]，最小值为[*]，再与f(0，0)＝2比较，可知f(x，y)在椭圆域D上的最大值为3，最小值为－2． [详解2] 同详解1，得驻点(0，O)． 用拉格朗日乘数法求函数在椭圆[*]上的极值． 设[*] 解得4个可能的极值点(0，2)，(0，－2)，(1，0)和(－1，0)． 又 f(0，2)＝－2，f(0，－2)＝－2，f(1，0)＝3，f(－1，0)＝3，再与f(0，0)＝2比较，得f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为－2．
解析 [分析]  先由全微分的表达式求出f(x，y)的表达式，再求其最值．
[评注]  此题的新颖点在于要求极值的函数没有直接给出，需要根据全微分的表达式求出后再讨论其最值．
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考研数学二

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