设。 (Ⅰ)验证它是某个二元函数u(x，y)的全微分； (Ⅱ)求出u(x，y)； (Ⅲ)计算。

admin2018-05-25 41

问题设

。
(Ⅰ)验证它是某个二元函数u(x，y)的全微分；
(Ⅱ)求出u(x，y)；
(Ⅲ)计算

。

选项

答案(Ⅰ) [*] 根据全微分方程的充要条件，故当x²+y²≠0时，[*]是某个二元函数的全微分。 (Ⅱ)求解u(x，y)有三种方法。方法一：不定积分法。 [*] 方法二：凑全微分法。 [*] 方法三：曲线积分法。因为[*]与积分路径无关，取积分路径为A(1，1)经C(x，1)到B(x，y)的折线段。则 [*] 根据起点的任意性，故可得u(x，y)=[*]+C。 (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)的结论，则[*]=u(0，4)一u(—3，0)=4—3=1。

解析

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