2. 考研
  3. 已知λ1，λ2是矩阵A两个不同的特征值，α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt分别是矩阵A属于特征值λ1和λ2的线性无关的特征向量．证明：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关．

已知λ1，λ2是矩阵A两个不同的特征值，α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt分别是矩阵A属于特征值λ1和λ2的线性无关的特征向量．证明：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关．

admin2018-06-12  68
问题 已知λ1，λ2是矩阵A两个不同的特征值，α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt分别是矩阵A属于特征值λ1和λ2的线性无关的特征向量．证明：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关．
选项
答案按特征值定义，有 Aαi＝λ1αi(i＝1，2，…，s)，Aβj＝λβj(j＝1，2，…，t)． 如果k1α2＋k2α2＋…＋ksαs＋l1β1＋l2β2＋…＋ltβt＝0， (1) 用A左乘(1)式两端，有 λ1k1α1＋λ1k2α2＋…＋λ1ksαs＋λ2l1β1＋λ2l2β2＋…＋λ2ltβt＝0． (2) 由(1)×λi－(2)得 (λ1－λ2)(l1β1＋l2β2＋…＋ltβt)＝0． 因为λ1≠λ2，故 l1β1＋l2β2＋…＋ltβt＝0． 由于β1，β2，…，βt线性无关，故必有l1＝0，l2＝0，…，lt＝0． 同理可证k1＝0，k2＝0，…，ks＝0． 从而α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关．
解析
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考研数学一

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