设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1=(1,3,0,2)T,α2=(1,2,-1,3)T.Bx=0的基础解系为β1=(1,1,2,1)T,β2=(0,-3,1,a)T. 若Ax=0和Bx=0有非零公共解,求a的值并求公共解.

admin2017-10-25  27

问题 设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1=(1,3,0,2)T,α2=(1,2,-1,3)T.Bx=0的基础解系为β1=(1,1,2,1)T,β2=(0,-3,1,a)T
若Ax=0和Bx=0有非零公共解,求a的值并求公共解.

选项

答案(Ⅰ)假设可以,即β=k1α1+k2α2+k3α3,则(k1,k2,k3,0)T是Ax=β的解. 从而(k1,k2,k3,0)T-(-1,1,0,2)T=(k1+1,k2-1,k3,-2)T就是Ax=0的解. 但是显然(k1+1,k2-1,k3,-2)T和(1,-1,2,0)T线性无关. 所以β不可以由α1,α2,α3线性表示. (Ⅱ)因为(-1,1,0,2)T是Ax=β的解,则β=-α12+2α4. 又因为(1,-1,2,0)T是Ax=0的解,则α123=0. 所以,β和α3都可由α1,α2,α4线性表示. 又由R(α1,α2,α3,α4,β)=R(α1,α2,α3,α4)=3,所以,α1,α2,α4是极大无关组.

解析 (Ⅰ)利用反证法;
(Ⅱ)由条件所给方程组的解,来确定向量之间的线性关系.
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