设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证： BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

admin2019-01-23 59

问题设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：
B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

选项

答案必要性：设B^TAB为正定矩阵，所以r(B^TAB)=n，又因为r(B^TAB)≤r(B)≤n，所以r(B)=n。充分性：因(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0。又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)^TA(Bx)＞0。于是当x≠0，有x^T(B^TAB)x=(Bx)^TA(Bx)＞0，故B^TAB为正定矩阵。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/umP4777K

考研数学三

相关试题推荐

已知α1，α2，α3，α4是3维列向量，矩阵A=[α1，α2，2α3—α4+α2]，B=[α3，α2，α1]，C=[α1+2α2，2α2+3α4，α4+3α1]，若｜B｜=—5，｜C｜=40，则｜A｜=__________．
设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫0xtf’(x—t)dt．求．
设函数f(x)在[0，1]上连续，并设∫01f(x)dx=A，求I=∫01f(x)dx∫x1f(y)dy．
交换极坐标系下的二重积分I=∫—π/2π/2dθ∫0acosθf(r，θ)dr的次序，其中f(r，θ)为连续函数．
交换二重积分I=∫01dxf(x，y)dy的积分次序，其中f(x，y)为连续函数．
设随机变量X与Y分别表示将一枚骰子接连抛两次后出现的点数．试求齐次方程组：的解空间的维数(即基础解系所含向量的个数)的数学期望和方差．
设A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵P=．(1)求a，b的值；(2)求正交变换x=Qy，化二次型f(x1，x2，x3)=XTA*x为标准形，其中A*为A的伴随矩阵；(3)若kE+A*合同于单位矩阵，求k的取值范围．
设X1，X2，X3，X4，为来自总体N(1，σ2)(σ>0)的简单随机样本，则统计量[X1-X2]/丨X3+X4-2丨的分布为
设幂级数anχn的收敛半径为3，则幂级数nan(χ－1)n+1的收敛区间为_______．
求函数f(x)=的最大值与最小值．

随机试题

能敛肺涩肠的药物是()(1994年第139题)
A、大流行B、散发C、有季节性D、暴发E、流行发病率呈历年一般水平的是
根据室内环境污染控制的不同要求，下列属于I类民用建筑工程的是()。
如果某项资产不能再为企业带来经济利益，即使是由企业拥有或者控制的，也不能作为企业的资产在资产负债表中列示。
资料：2007年7月1日发行的某债券，面值100元，期限3年，票面年利率8％，每半年付息一次，付息日为6月30日和12月31日。要求：某投资者2009年7月1日以97元购入，试问该投资者持有该债券至到期日的收益率是多少?(2007年)
能促进钙的吸收的维生素是()。
很多人认为，农村家养的土鸡，土猪，采用传统方式喂养，吃的是粮食、蔬菜、青草，不吃饲料，生长周期长，运动量大，肌肉紧实，更有营养，味道更加鲜美，所以市场上的土鸡，土猪通常售价更高。但研究者指出，其实土鸡或土猪并不比集中饲养的肉鸡和肉猪更有营养、更安全。　　
A、 B、 C、 D、 B
二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x32＋4x42＋2x1x2＋4x3x4的规范形是__________．
HappinessIsaJourneyThereisnowaytohappiness.Happinessistheway./Don’twastetoomuchofyourtimestudying,wor

最新回复(0)

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证： BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

考研数学三

已知α1，α2，α3，α4是3维列向量，矩阵A=[α1，α2，2α3—α4+α2]，B=[α3，α2，α1]，C=[α1+2α2，2α2+3α4，α4+3α1]，若｜B｜=—5，｜C｜=40，则｜A｜=__________．

设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫0xtf’(x—t)dt．求．

设函数f(x)在[0，1]上连续，并设∫01f(x)dx=A，求I=∫01f(x)dx∫x1f(y)dy．

交换极坐标系下的二重积分I=∫—π/2π/2dθ∫0acosθf(r，θ)dr的次序，其中f(r，θ)为连续函数．

交换二重积分I=∫01dxf(x，y)dy的积分次序，其中f(x，y)为连续函数．

设随机变量X与Y分别表示将一枚骰子接连抛两次后出现的点数．试求齐次方程组：的解空间的维数(即基础解系所含向量的个数)的数学期望和方差．

设A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵P=．(1)求a，b的值；(2)求正交变换x=Qy，化二次型f(x1，x2，x3)=XTA*x为标准形，其中A*为A的伴随矩阵；(3)若kE+A*合同于单位矩阵，求k的取值范围．

设X1，X2，X3，X4，为来自总体N(1，σ2)(σ>0)的简单随机样本，则统计量[X1-X2]/丨X3+X4-2丨的分布为

设幂级数anχn的收敛半径为3，则幂级数nan(χ－1)n+1的收敛区间为_______．

求函数f(x)=的最大值与最小值．

能敛肺涩肠的药物是()(1994年第139题)

A、大流行B、散发C、有季节性D、暴发E、流行发病率呈历年一般水平的是

根据室内环境污染控制的不同要求，下列属于I类民用建筑工程的是()。

如果某项资产不能再为企业带来经济利益，即使是由企业拥有或者控制的，也不能作为企业的资产在资产负债表中列示。

资料：2007年7月1日发行的某债券，面值100元，期限3年，票面年利率8％，每半年付息一次，付息日为6月30日和12月31日。要求：某投资者2009年7月1日以97元购入，试问该投资者持有该债券至到期日的收益率是多少?(2007年)

能促进钙的吸收的维生素是()。

A、 B、 C、 D、 B

二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x32＋4x42＋2x1x2＋4x3x4的规范形是__________．

HappinessIsaJourneyThereisnowaytohappiness.Happinessistheway./Don’twastetoomuchofyourtimestudying,wor

设A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵P=．(1)求a，b的值；(2)求正交变换x=Qy，化二次型f(x1，x2，x3)=XTAx为标准形，其中A为A的伴随矩阵；(3)若kE+A*合同于单位矩阵，求k的取值范围．