设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证： BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

admin2019-01-23 60

问题设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：
B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

选项

答案必要性：设B^TAB为正定矩阵，所以r(B^TAB)=n，又因为r(B^TAB)≤r(B)≤n，所以r(B)=n。充分性：因(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0。又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)^TA(Bx)＞0。于是当x≠0，有x^T(B^TAB)x=(Bx)^TA(Bx)＞0，故B^TAB为正定矩阵。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/umP4777K

考研数学三

相关试题推荐

设f(x)=，则f’(0)=________．
设f(x)=且g(x)=f(x2)+f(x—1)，则g(x)的定义域为_________．
已知a0=3，a1=5，对任意的n＞1，有nan=an—1—(n一1)an—1．证明：当｜x｜＜1时，幂级数anxn收敛，并求其和函数S(x)．
已知n阶矩阵A=[aij]n×n有n个特征值分别为λ1，λ2，…，λn，证明：
已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(1)证明：方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2．(2)求a，b的值及方程组的通解．
设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量，证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．
设A是3×3矩阵，α1，α2，α3是三维列向量，且线性无关，已知Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．(1)证明：Aα1，Aα2，Aα3线性无关．(2)求｜A｜．
设随机变量X的密度函数为Y=X2一2X一5，试求Y的密度函数和Cov(X，Y)．
设不恒为常数的函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(c)=f(b)．其中c为(a，b)内的一点，试证：存在点ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)
证明：当x≥0时，f(x)=∫0x(t一t2)sin2ntdt的最大值不超过

随机试题

财务结果是由计算得出的______指标，而非财务指标是______指标。
决定感染后果的因素有()
A．痰气郁结，气机不畅B．气滞血瘀，痰凝正虚C．气郁痰火，阴阳失调D．气机逆乱，阴阳失调厥证的主要病机是
患者，男，59岁，身高170cm，体重85kg，患高血压病10余年，未规律服用降压药，血压波动在(160～140)／(100～90)mmHg，未予重视，每于头晕、头痛明显时服药，症状消失后停药，吸烟40年，每日20支，饮酒20年，每日2两，近日由于工作劳累
A．仰卧位，垫肩头过伸B．侧卧位C．仰卧位，双肩尽量下拉D．仰卧位，下颏尽量内收E．俯卧位，垫头尽量使脊柱伸直声门下区癌治疗时常用治疗体位是
产程最大加速期是指临产
既能消食化积，又能散瘀的药物是
依据《中华人民共和国保险法》的规定，合同约定分期支付保险费的，投保人应当于合同成立时支付首期保险费，并应当按期支付其余各期的保险费。投保人支付首期保险费后，除合同另有约定外，投保人超过规定的期限（）日未支付当期保险费的，合同效力中止，或者由保
资本市场线没有给出任意证券或组合的收益风险关系。()
一棵二叉树共有25个结点，其中5个是叶子结点，则度为1的结点数为(　　)。

最新回复(0)

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证： BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

考研数学三

设f(x)=，则f’(0)=________．

设f(x)=且g(x)=f(x2)+f(x—1)，则g(x)的定义域为_________．

已知a0=3，a1=5，对任意的n＞1，有nan=an—1—(n一1)an—1．证明：当｜x｜＜1时，幂级数anxn收敛，并求其和函数S(x)．

已知n阶矩阵A=[aij]n×n有n个特征值分别为λ1，λ2，…，λn，证明：

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(1)证明：方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2．(2)求a，b的值及方程组的通解．

设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量，证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．

设A是3×3矩阵，α1，α2，α3是三维列向量，且线性无关，已知Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．(1)证明：Aα1，Aα2，Aα3线性无关．(2)求｜A｜．

设随机变量X的密度函数为Y=X2一2X一5，试求Y的密度函数和Cov(X，Y)．

设不恒为常数的函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(c)=f(b)．其中c为(a，b)内的一点，试证：存在点ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)

证明：当x≥0时，f(x)=∫0x(t一t2)sin2ntdt的最大值不超过

财务结果是由计算得出的______指标，而非财务指标是______指标。

决定感染后果的因素有()

A．痰气郁结，气机不畅B．气滞血瘀，痰凝正虚C．气郁痰火，阴阳失调D．气机逆乱，阴阳失调厥证的主要病机是

A．仰卧位，垫肩头过伸B．侧卧位C．仰卧位，双肩尽量下拉D．仰卧位，下颏尽量内收E．俯卧位，垫头尽量使脊柱伸直声门下区癌治疗时常用治疗体位是

产程最大加速期是指临产

既能消食化积，又能散瘀的药物是

资本市场线没有给出任意证券或组合的收益风险关系。()

一棵二叉树共有25个结点，其中5个是叶子结点，则度为1的结点数为( )。

财务结果是由计算得出的指标，而非财务指标是指标。

一棵二叉树共有25个结点，其中5个是叶子结点，则度为1的结点数为(　　)。