设A为n阶矩阵,下列命题正确的是 ( )

admin2020-03-24  59

问题 设A为n阶矩阵,下列命题正确的是    (    )

选项 A、若α为AT的特征向量,那么α为A的特征向量
B、若α为A*的特征向量,那么α为A的特征向量
C、若α为A2的特征向量,那么α为A的特征向量
D、若α为2A的特征向量,那么α为A的特征向量

答案D

解析 矩阵AT与A的特征值相同,但特征向量不一定相同,故(A)错误.
    ②假设α为A的特征向量,λ为其特征值,当λ≠0时,α也为A*的特征向量.这是由于
    Aα=λαA*Aα=λA*αA*α=λ-1|A|α.
    但反之,α为A*的特征向量,α却不一定为A的特征向量.例如:当r(A)<n一1时,A*=O,此时,任意n维非零列向量都是A*的特征向量,故A*的特征向量不一定是A的特征向量.可知(B)错误.
③假设α为A的特征向量,λ为其特征值,则α为A2的特征向量.这是由于
    Aα=A(Aα)=λAα=λα.
    但反之,若α为A的特征向量,α却不一定为A的特征向量.例如:假设Aβ1=β,Aβ=一β,其中β,β≠0.此时有A。(β+β)=Aβ+Aβ=β+β,可知β+β为A。的特征向量.但β,β是矩阵A两个不同特征值的特征向量,它们的和β+β不是A的特征向量.故(C)错误.④若α为2A的特征向量,则存在实数λ使得2Aα=λα,此时有,因此α为A的特征向量,可知(D)是正确的.故选(D).
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