设a是n维单位列向量,A=E-aaT.证明:r(A)<n.

admin2021-11-09  29

问题 设a是n维单位列向量,A=E-aaT.证明:r(A)<n.

选项

答案A2=(E-aaT)(E-aaT)=E-2aaT+aaT·aaT,因为a为单位列向量,所以aTa=1,于是A2=A,由A(E-A)=O得r(A)+r(E-A)≤n. 又由r(A)+r(E-A)≥r[A+(E-A)]=r(E)=n,得r(A)+r(E-A)=n,因为E-A=aaT≠O,所以r(E-A)=r(aaT)=r(a)=1,故r(A)=N-1<n.

解析
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