[2015年] 设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式．

admin2021-01-15 35

问题 [2015年] 设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意x₀∈I，曲线y=f(x)在点(x₀，f(x₀))处的切线与直线x=x₀及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式．

选项

答案由图易得过点C(x₁，f(x₁)的切线l的方程为y-f(x₀)=f’(x₀)(x-x₀)，则y=f’(x₀)(x-x₀)+f(x₀)． [*] l与x轴的交点A为y=0时，x=x₀-[*]，则｜AB｜=x₁-x=[*] 于是切线、直线x=x₀及x轴所围成区域的面积为 [*] 因而y=f(x)所满足的微分方程为 [*] 分离变量，得到[*]，积分得到[*]．由初始条件y(0)=2，得到[*] 故所求曲线l的方程为 [*]

解析

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考研数学一

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[2015年] 设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式．

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