证明：当0＜χ＜1时，(1＋χ)ln2(1＋χ)＜χ2．

admin2019-08-23 89

问题证明：当0＜χ＜1时，(1＋χ)ln²(1＋χ)＜χ²．

选项

答案令f(χ)＝χ²－(1＋χ)ln²(1＋χ)，f(0)＝0； f′(χ)＝2χ－ln²(1＋χ)－2ln(1＋χ)，f′(0)＝0； f〞(χ)＝2－[*]＞0(0＜χ＜1)，由[*]得f′(χ)＞0(0＜χ＜1)；再由[*]得f(χ)＞0(0＜χ＜1)，故当0＜χ＜1时，(1＋χ)ln²(1＋χ)＜χ²．

解析

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考研数学二

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设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f"(ξ)｜≥4．
已知η是Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系．证明：η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn-r，是Ax=b的n-r+1个线性无关解向量；
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设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，并且a＜1．1)试确定a的值，使S1+S2达到最小，并求出最小值．2)求该最小值对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积．
设xOy平面第一象限中有曲线Γ：y=y(x)，过点A(0，—1)，y′(x)＞0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为—1．导出y=y(x)满足的积分、微分方程．

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