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已知η是Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2,…,ξn-r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系.证明: η,η+ξ1,η+ξ2,…,η+ξn-r,是Ax=b的n-r+1个线性无关解向量;
已知η是Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2,…,ξn-r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系.证明: η,η+ξ1,η+ξ2,…,η+ξn-r,是Ax=b的n-r+1个线性无关解向量;
admin
2018-11-11
77
问题
已知η是Ax=b的一个特解,ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
是对应齐次方程组Ax=0的基础解系.证明:
η,η+ξ
1
,η+ξ
2
,…,η+ξ
n-r
,是Ax=b的n-r+1个线性无关解向量;
选项
答案
A(η+ξ
i
)=Aη=b,i=0,1,2,…,n一r(其中ξ
0
=0),故η+ξ
i
,i=0,1,2,…,n一r均 是Ax=b的解向量. 设存在数k
0
,k
1
,k
2
,…,k
n-r
使得 k
0
η+k
1
(η+ξ
1
)+k
2
(η+ξ
2
)+…+k
n-r
(η+ξ
n-r
)=0. (*) (*)式两端左边乘A,得 k
0
Aη+k
1
A(η+ξ
1
)+k
2
A(η+ξ
2
)+…+k
n-r
A(η+ξ
n-r
)=0, 整理得(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)b=0,其中b≠0.故 k
0
+k
1
+…+k
n-r
=0, (**) 代入(*)式,得 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0. 因ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
是对应齐次方程组的基础解系,故线性无关,得k
i
=0,i=1,2,…,n-r.代入(**)式,得k
0
=0.从而有η,η+ξ
1
,η+ξ
2
,…,η+ξ
n-r
是Ax=b的n-r+1个线性无关解向量.
解析
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考研数学二
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