2. 考研
  3. 已知η是Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系．证明： η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn-r，是Ax=b的n-r+1个线性无关解向量；

已知η是Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系．证明： η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn-r，是Ax=b的n-r+1个线性无关解向量；

admin2018-11-11  51
问题 已知η是Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系．证明：
η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn-r，是Ax=b的n-r+1个线性无关解向量；
选项
答案A(η+ξi)=Aη=b，i=0，1，2，…，n一r(其中ξ0=0)，故η+ξi，i=0，1，2，…，n一r均 是Ax=b的解向量． 设存在数k0，k1，k2，…，kn-r使得 k0η+k1(η+ξ1)+k2(η+ξ2)+…+kn-r(η+ξn-r)=0． (*) (*)式两端左边乘A，得 k0Aη+k1A(η+ξ1)+k2A(η+ξ2)+…+kn-rA(η+ξn-r)=0， 整理得(k0+k1+…+kn-r)b=0，其中b≠0．故 k0+k1+…+kn-r=0， (**) 代入(*)式，得 k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0． 因ξ1，ξ2，…，ξn-r是对应齐次方程组的基础解系，故线性无关，得ki=0，i=1，2，…，n-r．代入(**)式，得k0=0．从而有η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn-r是Ax=b的n-r+1个线性无关解向量．
解析
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考研数学二

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