设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f"(ξ)｜≥4．

admin2018-11-11 51

问题设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．
求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f"(ξ)｜≥4．

选项

答案把函数f(x)在x=0展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 [*] f"(ξ₁)一f"(ξ₁)=8→｜f"(ξ₁)｜+｜f"(ξ₁)｜≥8．从而，在ξ₁和ξ₂中至少有一个点，使得在该点的二阶导数绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)，使｜f"(ξ)｜≥4．

解析

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考研数学二

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