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设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f’(0)=f’(1)=0,f(1)=1. 求证:存在ξ∈(0,1),使|f"(ξ)|≥4.
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f’(0)=f’(1)=0,f(1)=1. 求证:存在ξ∈(0,1),使|f"(ξ)|≥4.
admin
2018-11-11
63
问题
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f’(0)=f’(1)=0,f(1)=1.
求证:存在ξ∈(0,1),使|f"(ξ)|≥4.
选项
答案
把函数f(x)在x=0展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式,得 [*] f"(ξ
1
)一f"(ξ
1
)=8→|f"(ξ
1
)|+|f"(ξ
1
)|≥8. 从而,在ξ
1
和ξ
2
中至少有一个点,使得在该点的二阶导数绝对值不小于4,把该点取为ξ,就有ξ∈(0,1),使|f"(ξ)|≥4.
解析
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考研数学二
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