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  3. 设f(x)可微，且满足，则f(x)= ．

设f(x)可微，且满足，则f(x)= ．

admin2019-08-27  56
问题 设f(x)可微，且满足，则f(x)=      ．
选项
答案cosx-sin x
解析 【思路探索】由题设条件，利用变限函数求导法得微分方程：f"(x)+f(x)=0，且f(0)=1，fˊ(0)=-1，解该方程即可得f(x)．

于是原方程变为．两边对x求导，得

整理得两边再对x求导，得0=fˊ(x)-f(-x)·(-1)，即
fˊ(x)=-f(-x)，fˊ(-x)=-f(x)                       (*)
上式两边对x求导，得f"(x)=fˊ(-x)．                 (**)
由(*)，(**)得f"(x)=-f(x)．即f"(x)+f(x)=0．解此方程得

注意到f(0)=1，fˊ(0)=-1，又因为f(0)=C1，fˊ(0)=C2，所以C1=1，C2=-1．
故f(x)=cos x-sin x．
故应填cos x-sin x．
【错例分析】对于本题，有的学生做法如下：
在已知方程两端对x求导，得

又f(0)=0，所以f(x)=1．故应填1．
上述做法显然是错误的，原因是积分不能直接对x求导，而正确的做法是：先通过变量代换u=t-x，使，即使积分的被积函数f(x)中不出现x，然后再在已知方程两端对x求导，并解方程．
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考研数学二

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