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考研
设f(x)可微,且满足,则f(x)= .
设f(x)可微,且满足,则f(x)= .
admin
2019-08-27
46
问题
设f(x)可微,且满足
,则f(x)=
.
选项
答案
cosx-sin x
解析
【思路探索】由题设条件,利用变限函数求导法得微分方程:f"(x)+f(x)=0,且f(0)=1,fˊ(0)=-1,解该方程即可得f(x).
于是原方程变为
.两边对x求导,得
整理得
两边再对x求导,得0=fˊ(x)-f(-x)·(-1),即
fˊ(x)=-f(-x),fˊ(-x)=-f(x) (*)
上式两边对x求导,得f"(x)=fˊ(-x). (**)
由(*),(**)得f"(x)=-f(x).即f"(x)+f(x)=0.解此方程得
注意到f(0)=1,fˊ(0)=-1,又因为f(0)=C
1
,fˊ(0)=C
2
,所以C
1
=1,C
2
=-1.
故f(x)=cos x-sin x.
故应填cos x-sin x.
【错例分析】对于本题,有的学生做法如下:
在已知方程
两端对x求导,得
又f(0)=0,所以f(x)=1.故应填1.
上述做法显然是错误的,原因是积分
不能直接对x求导,而正确的做法是:先通过变量代换u=t-x,使
,即使积分
的被积函数f(x)中不出现x,然后再在已知方程两端对x求导,并解方程.
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考研数学二
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