设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且证明：存在ξ∈(0，1)，使得fˊˊ(ξ)=f(ξ)；

admin2016-03-18 80

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且

证明：
存在ξ∈(0，1)，使得fˊˊ(ξ)=f(ξ)；

选项

答案令h(x)=e^x f(x)，因为f(0)=f(c)=f(1)=0，所以h(0)=h(c)=h(1)=0，由罗尔定理，存在ξ₁∈(0，c)，ξ₂∈(c，1)，使得hˊ(ξ₁)= hˊ(ξ₂)=0而hˊ(x)=e^x[f(x)+fˊ(x)]且e^x≠0，所以f(ξ₁)+fˊ(ξ₁)=0，f(ξ₂)+fˊ(ξ₂)=0 令φ(x)=e^－x[f(x)+fˊ(x)]，因为φ(ξ₁)=φ(ξ₂)=0，所以存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](0，1)，使得φˊ(ξ)=0，而φˊ(x)=e^－x [fˊˊ(x)－f(x)]且e^－x≠0，于是fˊˊ(ξ)=f(ξ)

解析

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