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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且证明： 存在ξ∈(0，1)，使得fˊˊ(ξ)=f(ξ)；

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且证明： 存在ξ∈(0，1)，使得fˊˊ(ξ)=f(ξ)；

admin2016-03-18  60
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且证明：
存在ξ∈(0，1)，使得fˊˊ(ξ)=f(ξ)；
选项
答案令h(x)=ex f(x)，因为f(0)=f(c)=f(1)=0，所以h(0)=h(c)=h(1)=0，由罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，1)，使得hˊ(ξ1)= hˊ(ξ2)=0而hˊ(x)=ex[f(x)+fˊ(x)]且ex≠0，所以f(ξ1)+fˊ(ξ1)=0，f(ξ2)+fˊ(ξ2)=0 令φ(x)=e－x[f(x)+fˊ(x)]，因为φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，所以存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0，1)，使得φˊ(ξ)=0，而φˊ(x)=e－x [fˊˊ(x)－f(x)]且e－x≠0，于是fˊˊ(ξ)=f(ξ)
解析
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考研数学一

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