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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且证明: 存在ξ∈(0,1),使得fˊˊ(ξ)=f(ξ);
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且证明: 存在ξ∈(0,1),使得fˊˊ(ξ)=f(ξ);
admin
2016-03-18
60
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
证明:
存在ξ∈(0,1),使得fˊˊ(ξ)=f(ξ);
选项
答案
令h(x)=e
x
f(x),因为f(0)=f(c)=f(1)=0,所以h(0)=h(c)=h(1)=0,由罗尔定理,存在ξ
1
∈(0,c),ξ
2
∈(c,1),使得hˊ(ξ
1
)= hˊ(ξ
2
)=0而hˊ(x)=e
x
[f(x)+fˊ(x)]且e
x
≠0,所以f(ξ
1
)+fˊ(ξ
1
)=0,f(ξ
2
)+fˊ(ξ
2
)=0 令φ(x)=e
-x
[f(x)+fˊ(x)],因为φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0,所以存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,1),使得φˊ(ξ)=0,而φˊ(x)=e
-x
[fˊˊ(x)-f(x)]且e
-x
≠0,于是fˊˊ(ξ)=f(ξ)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/v3w4777K
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考研数学一
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