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  3. 已知曲面S：2x2+4y2+z2=4与平面π：2x+2y+z+5=0，求： 曲面S上的点及其上的切平面与法线方程，使该切平面与平面π平行；

已知曲面S：2x2+4y2+z2=4与平面π：2x+2y+z+5=0，求： 曲面S上的点及其上的切平面与法线方程，使该切平面与平面π平行；

admin2022-07-21  56
问题 已知曲面S：2x2+4y2+z2=4与平面π：2x+2y+z+5=0，求：
曲面S上的点及其上的切平面与法线方程，使该切平面与平面π平行；
选项
答案在曲面S上任取一点P0(x0，y0，z0)，记F(x，y，z)=2x2+4y2+z2-4，则 Fx(x，y，z)=4x，Fy(x，y，z)=8y，Fz(x，y，z)=2z 故曲面S在P0(x0，y0，z0)的切平面的法向量为n={4x0，8y0，2z0)=2{2x0，4y0，z0}． 又该切平面与平面π平行，两平面的法向量也平行，故 [*] 代入曲面S的方程得2(2y0)2+4y02+(2y0)2=4，解得y0=±1/2，即所求点为P1(-1，-1/2，-1)与P2(1，1/2，1)，它们对应的切平面方程为 [*] 即2x+2y+z-4=0，2x+2y+z+4=0．对应的法线方程为 [*]
解析
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考研数学二

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