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  3. 设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量． 若A2α+Aα－6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量． 若A2α+Aα－6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

admin2018-05-21  42
问题 设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．
若A2α+Aα－6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；
选项
答案由A2α+Aα－6α=0，得(A2+A－6E)α=0， 因为α≠0，所以r(A2+A－6E)＜2，从而|A2+A－6E|=0，即 |3E+A|．|2E－A|=0，则|3E+A|=0或|2E－A|=0． 若|3E+A|≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E－A)α=0，得 (2E－A)α=0，即Aα=2α，矛盾； 若|2E－A|≠0，则2E－A可逆，由(2E－A)(3E+A)α=0，得 (3E+A)α=0，即Aα=－3α，矛盾，所以有|3E+A|=0且|2E－A|=0，于是二阶矩阵A有两个特征值－3，2，故A可对角化．
解析
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考研数学一

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