设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．问A能否相似对角化?若能，请求出相似变换矩阵P与对角阵A；若不能，请说明理由．

admin2016-01-23 76

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的3维列向量，且满足Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃．
问A能否相似对角化?若能，请求出相似变换矩阵P与对角阵A；若不能，请说明理由．

选项

答案对于矩阵B，求方程组(E-B)x=0的基础解系，可得B的属于特征值λ=1的两个线性无关的特征向量η₁=(-1，1，0)^T，η₂=(2，0，1)^T．求方程组(4E-B)x=0的基础解系，可得B的属于特征值λ=4的特征向量η₃=(0，1，1)^T．令P₁=(η₁，η₂，η₃)，则有[

解析

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考研数学一

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