求二元函数z=f(χ,y)=χ2y(4-χ-y)在由χ轴、y轴及χ+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值.

admin2018-04-18  34

问题 求二元函数z=f(χ,y)=χ2y(4-χ-y)在由χ轴、y轴及χ+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值.

选项

答案(1)求f(χ,y)在区域D的边界上的最值, 在L1:y=0(0≤χ≤6)上,z=0; 在L2:χ=0(0≤y≤6)上,z=0; 在L3:y-6-χ(0≤χ≤6)上,χ=-2χ2(6-χ)=2χ3-12χ2, 由[*]=6χ2-24χ=0得χ=4,因为f(0,6)=0,f(6,0)=0,f(4,2)=-64,所以f(χ,y)在L3上最小值为-64,最大值为0. (2)在区域D内,由[*]得驻点为(2,1), A=[*]=-8, 因为AC-B2>0且A<0,所以(2,1)为f(χ,y)的极大值点,极大值为f(2,1)=4, 故z=f(χ,y)在D上的最小值为m=f(4,2)-64,最大值为M=f(2,1)=4.

解析
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