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设y=y(x)是凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值。
设y=y(x)是凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值。
admin
2018-04-18
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问题
设y=y(x)是凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为
,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值。
选项
答案
由题设及曲率公式,有 [*],(因曲线)y=y(x)是凸的,所以y
’’
<0,|y
’’
|=一y
’’
。) 化简得[*]=一dx,两端同时积分解得 arctany
’
=一x+C
1
。 由题设,曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,可知y(0)=1,y
’
(0)=1。 以x=0代入上式,得C
1
=[*]。 [*] (本题选择[*]是因为已知曲线在X=0处有值,且曲线是一条连续曲线,因此该解的范围应该包含X=0在内并且使y(X)连续的一个区间。) 对上式积分得 [*] 又由题设可知y(0)=1,代入上式,得C
2
=1一[*],于是所求的曲线方程为 y=[*]。 由于cos([*]一x)≤1,且lnx在定义域内是增函数,所以当且仅当cos([*]一x)=1时,即x=[*],所以此时y取极大值,极大值为y=1+[*]ln2,显然y在[*]没有极小值。
解析
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考研数学二
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