2. 考研
  3. 设y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。

设y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。

admin2018-04-18  75
问题 设y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。
选项
答案由题设及曲率公式，有 [*]，(因曲线)y=y(x)是凸的，所以y’’＜0，｜y’’｜=一y’’。) 化简得[*]=一dx，两端同时积分解得 arctany’=一x+C1。 由题设，曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，可知y(0)=1，y’(0)=1。 以x=0代入上式，得C1=[*]。 [*] (本题选择[*]是因为已知曲线在X=0处有值，且曲线是一条连续曲线，因此该解的范围应该包含X=0在内并且使y(X)连续的一个区间。) 对上式积分得 [*] 又由题设可知y(0)=1，代入上式，得C2=1一[*]，于是所求的曲线方程为 y=[*]。 由于cos([*]一x)≤1，且lnx在定义域内是增函数，所以当且仅当cos([*]一x)=1时，即x=[*]，所以此时y取极大值，极大值为y=1+[*]ln2，显然y在[*]没有极小值。
解析
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考研数学二

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