3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于1的特征向量．记B=A5一4A3+E． (1)求B的特征值和特征向量． (2)求B．

admin2017-11-13 81

问题 3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，一2，α₁=(1，一1，1)T是A的属于1的特征向量．记B=A⁵一4A³+E．
(1)求B的特征值和特征向量．
(2)求B．

选项

答案(1)记f(x)=x⁵一4x³+1，则B的特征值为f(1)=一2，f(2)=1，f(一2)=1． α₁=(1，一1，1)^T是A的属于1的特征向量，则它也是B的特征向量，特征值一2． B的属于一2的特征向量为cα₁，c≠0． B也是实对称矩阵，因此B的属于特征值1的特征向量是与α₁正交的非零向量，即是x₁一x₂+x₃=0的非零解．求出此方程的基础解系α₂=(1，1，0)^T，α₃=(0，1，1)^T，B的属于特征值1的特征向量为 c₁α₂+c₂α₃，c₁，c₂不全为0． (2)B(α₁，α₂，α₃)=(一2α₁，α₂，α₃)．解此矩阵方程求得 [*]

解析

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3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于1的特征向量．记B=A5一4A3+E． (1)求B的特征值和特征向量． (2)求B．

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