设矩阵A的伴随矩阵且ABA—1=BA—1+3E，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B．

admin2016-04-11 54

问题设矩阵A的伴随矩阵

且ABA^—1=BA^—1+3E，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B．

选项

答案由｜A^*｜=｜A｜^N—1，有｜A｜³=8，得｜A｜=2．又由题设方程，有 (A—E)BA^—1=3E 两端右乘A，得 (A—E)B=3A 两端左乘A^—1，得 (E一A^—1)B=3E 即 (E一[*]A^*)B=3E 亦即 (2E一A^*)B=6E 又2E—A^*为可逆矩阵，于是 B=6(2E—A^*)^—1 计算可得 [*]

解析本题综合考查矩阵的运算及伴随矩阵的概念和性质．注意本题化简矩阵方程的关键是利用公式AA^*=A^*A=｜A｜E．也可以直接先给题设方程两端右乘A，得AB=B+3A，再两端左乘A^*，得｜A ｜B=A^*B+3｜A｜E，即2B=A^*B+6E，移项得(2E一A^*)B=6E．

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