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设矩阵A的伴随矩阵 且ABA—1=BA—1+3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B.
设矩阵A的伴随矩阵 且ABA—1=BA—1+3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B.
admin
2016-04-11
50
问题
设矩阵A的伴随矩阵
且ABA
—1
=BA
—1
+3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B.
选项
答案
由|A
*
|=|A|
N—1
,有|A|
3
=8,得|A|=2. 又由题设方程,有 (A—E)BA
—1
=3E 两端右乘A,得 (A—E)B=3A 两端左乘A
—1
,得 (E一A
—1
)B=3E 即 (E一[*]A
*
)B=3E 亦即 (2E一A
*
)B=6E 又2E—A
*
为可逆矩阵,于是 B=6(2E—A
*
)
—1
计算可得 [*]
解析
本题综合考查矩阵的运算及伴随矩阵的概念和性质.注意本题化简矩阵方程的关键是利用公式AA
*
=A
*
A=|A|E.也可以直接先给题设方程两端右乘A,得AB=B+3A,再两端左乘A
*
,得|A |B=A
*
B+3|A|E,即2B=A
*
B+6E,移项得(2E一A
*
)B=6E.
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考研数学一
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