设f(x)、g(x)均为连续二阶可导的函数,若曲线积分 其中L为平面上任意一条简单封闭曲线. (1)试求:f(x)、g(x)使得f(0)=g(0)=0. (2)计算沿任意一条曲线从点(0,0)到点(1,1)的曲线积分.

admin2017-05-31  40

问题 设f(x)、g(x)均为连续二阶可导的函数,若曲线积分
    其中L为平面上任意一条简单封闭曲线.
    (1)试求:f(x)、g(x)使得f(0)=g(0)=0.
    (2)计算沿任意一条曲线从点(0,0)到点(1,1)的曲线积分.

选项

答案在曲线积分[*][y2f(x)+2yex+2yg(x)]dx+2[yg(x)+f(x)]dy中,令P(x,y)=y2f(x) +2yex+2yg(x),Q(x,y)= 2[yg(x)+f(x)]则[*] (1)由于曲线积分与路径无关,则[*]即2yg’(x)+ 2f’(x)= 2yf(x)+2ex+2g(x),亦即yg’(x)+ f’(x)= yf(x)+ex+g(x) .比较变量y的同次幂前的系数,得[*]于是,就有g’’(x) 一g(x)=ex.解此二阶线性微分方程,得通解为g(x)=c1 ex+c2 e一x+[*],其中c1 c2为任意常数.根据条件g(0)=0,g’(0)= f(0)=0,得[*] (2)再由曲线积分与路径无关,可取路径为OAB,如图1—9—3所示, [*] 则I=∫L[y2f(x)+2yex+2yg(x)]dx+2[yg(x)+f(x)]dy=∫01P(x,0)dx+∫01Q(1,y)dy=∫010dx+∫012[yg(1)+f(1)]dy=g(1)+2f(1)[*]

解析 (1)利用曲线积分与路径无关的充要条件,将问题化为微分方程问题,这是一类很典型的综合题型.
    (2)利用曲线积分与路径无关的充分必要条件在求解曲线积分时,一般均采用折线段的方法.
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