2. 考研
  3. 设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当|ε|充分小时，A+εB仍是正定矩阵．

设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当|ε|充分小时，A+εB仍是正定矩阵．

admin2020-03-05  20
问题 设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：
    (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵；
    (2)当|ε|充分小时，A+εB仍是正定矩阵．
选项
答案(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P1，使得P1TAP1=E．作B1=P1TBP1，则B1仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得QTB1Q是对角矩阵．令P=P1Q，则 PTAP=QTP1TAP1Q=E，PTBP=QTP1TBP1Q=QTB1Q．因此P即所求． (2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵PTBP对角线上的元素依次为λ1，λ3，…，λn，记 M=max{|λ1|，|λ2|，…，|λn|}． 则当|ε|＜1／M时，E+εPTBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1+ελi＞0，i=1，2，…，n．于是E+εPTBP正定，PT(A+εB)P=E+εPTBP，因此A+εB也正定．
解析
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考研数学一

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