在xOy坐标平面上求一条曲线，使得过每一点的切线同该点的向径及Oy坐标轴一起构成一个等腰三角形．

admin2017-05-31 45

问题在xOy坐标平面上求一条曲线，使得过每一点的切线同该点的向径及Oy坐标轴一起构成一个等腰三角形．

选项

答案如图1—11—1， [*] 设此曲线方程为y=y(x)，过此曲线上任意一点P(x，y)的切线为Y—y=y’(x)(X—x)．根据题意，它与Oy坐标轴的交点为A(0，y一xy’)，使得△AOP为等腰三角形．若｜OP｜=｜AP｜，此时有[*]这不仅可作为分离变量的微分方程，也可作为齐次微分方程，通解为xy=c，其中c为任意常数．若｜OA｜=｜OP｜，此时有 [*] 其中c为任意常数．若｜OA｜=｜AP｜，此时有[*]这是齐次微分方程．通解为x²+y²=cx，其中c为任意常数．

解析本题主要考查如何根据实际问题建立相应的微分方程，并求其通解．
为使△AOP为等腰三角形，需要讨论三角形中哪两条边是相等的．

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考研数学一

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