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在xOy坐标平面上求一条曲线,使得过每一点的切线同该点的向径及Oy坐标轴一起构成一个等腰三角形.
在xOy坐标平面上求一条曲线,使得过每一点的切线同该点的向径及Oy坐标轴一起构成一个等腰三角形.
admin
2017-05-31
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问题
在xOy坐标平面上求一条曲线,使得过每一点的切线同该点的向径及Oy坐标轴一起构成一个等腰三角形.
选项
答案
如图1—11—1, [*] 设此曲线方程为y=y(x),过此曲线上任意一点P(x,y)的切线为Y—y=y’(x)(X—x). 根据题意,它与Oy坐标轴的交点为A(0,y一xy’),使得△AOP为等腰三角形. 若|OP|=|AP|,此时有[*]这不仅可作为分离变量的微分方程,也可作为齐次微分方程,通解为xy=c,其中c为任意常数. 若|OA|=|OP|,此时有 [*] 其中c为任意常数. 若|OA|=|AP|,此时有[*]这是齐次微分方程.通解为x
2
+y
2
=cx,其中c为任意常数.
解析
本题主要考查如何根据实际问题建立相应的微分方程,并求其通解.
为使△AOP为等腰三角形,需要讨论三角形中哪两条边是相等的.
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考研数学一
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