2. 考研
  3. (1998年)设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。 (I)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积； (Ⅱ)又设f(x)在区间(0，1

(1998年)设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。 (I)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积； (Ⅱ)又设f(x)在区间(0，1

admin2021-01-15  50
问题 (1998年)设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。
    (I)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积；
    (Ⅱ)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且证明(I)中的x0是唯一的。
选项
答案(I)要证存在x0∈(0，1)，使 [*] 令[*]然后证明存在x0∈(0，1)，使φ(x0)=0。可以对φ(x)的原函数Φ(x)=[*]使用罗尔定理： Φ(0)=0， [*] 又由f(x)在[0，1]连续[*]φ(x)在[0，1]连续，故Φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导。根据罗尔定理，存在x0∈(0，1)，使Φ′(x0)=φ(x0)=0。 (Ⅱ)由φ′(x)=xf′(x)+f(x)+f(x)=xf′(x)+2f(x)＞0，知φ(x)在(0，1)内单调增，故(I)中的x0是唯一的。
解析
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考研数学一

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