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求I=(x2-y2)dydz+(y2-z2)dzdx+(z2-x2)dxdy,S是上半椭球面+z2=1(z≥0)取上侧.
求I=(x2-y2)dydz+(y2-z2)dzdx+(z2-x2)dxdy,S是上半椭球面+z2=1(z≥0)取上侧.
admin
2016-10-26
50
问题
求I=
(x
2
-y
2
)dydz+(y
2
-z
2
)dzdx+(z
2
-x
2
)dxdy,S是上半椭球面
+z
2
=1(z≥0)取上侧.
选项
答案
易求S在xy平面上的投影区域D:[*]≤1.于是 [*] 这里,D关于x,y轴均对称,[*]对x是奇函数,[*]对y也是奇函数,就有 [*] 现归结为求 [*] 其中D
1
=D∩{x≥0,y≥0}. 用极坐标变换:x=rcosθ,y=rsinθ,则 [*] 于是 [*] 由对称性(将x,y互换,同时a,b也互换,D不变)[*]dxdy. [*] 因此 I=abπ-[*]π(2-a
2
).
解析
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考研数学一
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