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  3. 已知齐次线性方程组(I)为 齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为 ξ1=[一1，1，2，4]T，ξ2=[1，0，1，1]T (1)求方程组(I)的基础解系； (2)求方程组(I)与(Ⅱ)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(I)，(Ⅱ

已知齐次线性方程组(I)为 齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为 ξ1=[一1，1，2，4]T，ξ2=[1，0，1，1]T (1)求方程组(I)的基础解系； (2)求方程组(I)与(Ⅱ)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(I)，(Ⅱ

admin2018-09-20  53
问题 已知齐次线性方程组(I)为

齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为
ξ1=[一1，1，2，4]T，ξ2=[1，0，1，1]T
    (1)求方程组(I)的基础解系；
    (2)求方程组(I)与(Ⅱ)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(I)，(Ⅱ)的基础解系线性表示．
选项
答案(1)对齐次线性方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，得 [*] 故其同解方程组为 [*] 由此解得方程组(I)的基础解系为 η1=[2，一1，1，0]T，η2=[一1，1，0，1]T． (2)由(1)解得方程组(I)的基础解系η1，η2．于是，方程组(I)的通解为 k1η1+k2η2=k1[2，一1，1，0]T+k2[一1，1，0，1]T(k1，k2为任意常数)． 由题设知，方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1，ξ2，其通解为 l1ξ1+l2ξ2=l1[一1，1，2，4]T+l2[1，0，1，1]T(l1，l2为任意常数)． 为求方程组(I)与(Ⅱ)的公共解，令它们的通解相等，即 k1[2，一1，1，0]T+k2[一1，1，0，1]T=l1[一1，1，2，4]T+l2[1，0，1，1]T． 从而，得到关于k1，k2，l1，l2的方程组 [*] 对此方程组的系数矩阵作初等行变换，得 [*] 由此可得，k1=k2=l2，l1=0． 所以，令k1=k2=k，方程组(I)，(Ⅱ)的非零公共解是 k[2，一1，1，0]T+k[一1，1，0，1]T=k[1，0，1，1]T(k为任意非零常数)． 并且，方程组(I)，(Ⅱ)的非零公共解分别由方程组(I)，(Ⅱ)的基础解系线性表示为 k(η1+η2)和0.ζ1+kζ2．
解析
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考研数学三

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