2. 考研
  3. (09)设二次型 f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3． (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

(09)设二次型 f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3． (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

admin2019-06-09  56
问题 (09)设二次型
    f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3．
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．
选项
答案(Ⅰ)f的矩阵为A=[*]，由特征方程 [*] =(λ-a)[(λ-a)2+(λ-a)-2] =(λ-a)(λ-a+2)(λ-a-1)=0， 得A的特征值为λ1=a，λ2=a-2，λ3=a+1． (Ⅱ)由f的规范形知f的秩为2，正惯性指数为2(负惯性指数为0)．因此，A的特征值2个为正，1个为0． 若λ1=a=0，则λ2=-2＜0，λ3=1，不合 题意；若λ2=a-2=0．则a=2，λ1=2，λ3=3．符合题意；若λ3=a+1=0，则a=-1，λ1=-1＜0，λ2=-3＜0，不合题意．故a=2．
解析
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考研数学二

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