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(09)设二次型 f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3. (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值; (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22,求a的值.
(09)设二次型 f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3. (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值; (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22,求a的值.
admin
2019-06-09
74
问题
(09)设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=ax
1
2
+ax
2
2
+(a-1)x
3
2
+2x
1
x
3
-2x
2
x
3
.
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值;
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y
1
2
+y
2
2
,求a的值.
选项
答案
(Ⅰ)f的矩阵为A=[*],由特征方程 [*] =(λ-a)[(λ-a)
2
+(λ-a)-2] =(λ-a)(λ-a+2)(λ-a-1)=0, 得A的特征值为λ
1
=a,λ
2
=a-2,λ
3
=a+1. (Ⅱ)由f的规范形知f的秩为2,正惯性指数为2(负惯性指数为0).因此,A的特征值2个为正,1个为0. 若λ
1
=a=0,则λ
2
=-2<0,λ
3
=1,不合 题意;若λ
2
=a-2=0.则a=2,λ
1
=2,λ
3
=3.符合题意;若λ
3
=a+1=0,则a=-1,λ
1
=-1<0,λ
2
=-3<0,不合题意.故a=2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vlV4777K
0
考研数学二
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