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设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足A2=A(A称为幂等阵). 求: (1)二次型XTAX的标准形; (2)|E+A+A2+…+An|的值.
设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足A2=A(A称为幂等阵). 求: (1)二次型XTAX的标准形; (2)|E+A+A2+…+An|的值.
admin
2021-11-15
34
问题
设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足A
2
=A(A称为幂等阵).
求:
(1)二次型X
T
AX的标准形;
(2)|E+A+A
2
+…+A
n
|的值.
选项
答案
(1)因为A
2
=A,所以|A||E-A|=0,即A的特征值为0或者1, 因为A为实对称矩阵,所以A可对角化,由r(A)=r得A的特征值为λ=1(r重),λ=0(n-r重),则二次型X
T
AX的标准形为y
1
2
+y
2
2
+…+y
r
2
. (2)令B=E+A+A
2
+…+A
n
,则B的特征值为λ=n+1(r重),λ=1(n-r重),故|E+A+A
2
+…+A
n
|=|B|=(n+1)
r
.
解析
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考研数学二
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