2. 考研
  3. 设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)． 求： (1)二次型XTAX的标准形； (2)|E+A+A2+…+An|的值．

设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)． 求： (1)二次型XTAX的标准形； (2)|E+A+A2+…+An|的值．

admin2021-11-15  73
问题 设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．
求：
(1)二次型XTAX的标准形；
(2)|E+A+A2+…+An|的值．
选项
答案(1)因为A2=A，所以|A||E-A|=0，即A的特征值为0或者1， 因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)=r得A的特征值为λ=1(r重)，λ=0(n-r重)，则二次型XTAX的标准形为y12+y22+…+yr2． (2)令B=E+A+A2+…+An，则B的特征值为λ=n+1(r重)，λ=1(n-r重)，故|E+A+A2+…+An|=|B|=(n+1)r．
解析
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考研数学二

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