设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求： (1)二次型XTAX的标准形； (2)|E+A+A2+…+An|的值．

admin2021-11-15 56

问题设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A²=A(A称为幂等阵)．
求：
(1)二次型X^TAX的标准形；
(2)|E+A+A²+…+Aⁿ|的值．

选项

答案(1)因为A²=A，所以|A||E-A|=0，即A的特征值为0或者1，因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)=r得A的特征值为λ=1(r重)，λ=0(n-r重)，则二次型X^TAX的标准形为y₁²+y₂²+…+y_r²． (2)令B=E+A+A²+…+Aⁿ，则B的特征值为λ=n+1(r重)，λ=1(n-r重)，故|E+A+A²+…+Aⁿ|=|B|=(n+1)^r．

解析

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