设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且,又f(2)=。

admin2019-12-24  19

问题 设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且,又f(2)=

选项

答案根据[*],则[*],可得f(1)=-1,又因为 [*] 所以f’(1)=0。由积分中值定理知,存在一点c∈[1,3/2],使得 [*] 于是根据罗尔定理,存在x0∈(c,2)[*](1,2),使得f’(x0)=0。 令φ(x)=exf’(x),则φ(1)=φ(x0)=0,再利用罗尔定理得,存在ξ∈(1,x0)[*](0,2),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=ex[f’(x)+f’’(x)]且ex≠0,所以有f’(ξ)+f’’(ξ)=0。

解析 本题先利用等价无穷小化简题目所给极限,然后结合积分中值定理和罗尔定理证明最终结果。
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