设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且，又f(2)＝。

admin2019-12-24 25

问题设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且

，又f(2)＝

。

选项

答案根据[*]，则[*]，可得f(1)＝－1，又因为 [*] 所以f’(1)＝0。由积分中值定理知，存在一点c∈[1，3／2]，使得 [*] 于是根据罗尔定理，存在x₀∈(c，2)[*](1，2)，使得f’(x₀)＝0。令φ(x)＝e^xf’(x)，则φ(1)＝φ(x₀)＝0，再利用罗尔定理得，存在ξ∈(1，x₀)[*](0，2)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝e^x[f’(x)＋f’’(x)]且e^x≠0，所以有f’(ξ)＋f’’(ξ)＝0。

解析本题先利用等价无穷小化简题目所给极限，然后结合积分中值定理和罗尔定理证明最终结果。

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