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设矩阵 矩阵B=P—1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
设矩阵 矩阵B=P—1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
admin
2018-11-22
21
问题
设矩阵
矩阵B=P
—1
A
*
P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A
*
为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
选项
答案
经计算可得 [*] 得B+2E的特征值为 λ
1
=λ
2
=9,λ
3
=3. 对于λ
1
=λ
2
=9,由 [*] 所以对应于特征值λ
1
=λ
2
=9的全部特征向量为 k
1
η
1
+k
2
η
2
=k
1
(一1,1,0)
T
+k
2
(一2,0,1)
T
其中k
1
,k
2
是不全为零的任意常数. 对于λ
3
=3,对应的一个特征向量可取为 η
3
=(0,1,1)
T
所以对应于特征值λ
3
=3的全部特征向量为k
3
η
3
=k
3
(0,1,1)
T
,其中k
3
是不为零的任意常数.
解析
本题是三阶方阵的一系列常规计算问题,按部就班也不难作出来.但如果利用相似矩阵及矩阵特征值的一些常用性质(例如:(1)若A与B相似,则对任意多项式f,有f(A)与f(B)相似.(2)相似矩阵有相同的特征值.等等),则本题运算还可简化.
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考研数学一
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