设矩阵 矩阵B=P—1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.

admin2018-11-22  23

问题 设矩阵

矩阵B=P—1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.

选项

答案经计算可得 [*] 得B+2E的特征值为 λ12=9,λ3=3. 对于λ12=9,由 [*] 所以对应于特征值λ12=9的全部特征向量为 k1η1+k2η2=k1(一1,1,0)T+k2(一2,0,1)T 其中k1,k2是不全为零的任意常数. 对于λ3=3,对应的一个特征向量可取为 η3=(0,1,1)T 所以对应于特征值λ3=3的全部特征向量为k3η3=k3(0,1,1) T,其中k3是不为零的任意常数.

解析 本题是三阶方阵的一系列常规计算问题,按部就班也不难作出来.但如果利用相似矩阵及矩阵特征值的一些常用性质(例如:(1)若A与B相似,则对任意多项式f,有f(A)与f(B)相似.(2)相似矩阵有相同的特征值.等等),则本题运算还可简化.
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