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设a,b,n都是常数,f(x)=arctan x-.已知存在,但不为零,求n的最大值及相应的a,b的值.
设a,b,n都是常数,f(x)=arctan x-.已知存在,但不为零,求n的最大值及相应的a,b的值.
admin
2018-12-21
60
问题
设a,b,n都是常数,f(x)=arctan x-
.已知
存在,但不为零,求n的最大值及相应的a,b的值.
选项
答案
先将φ(x)=arctan x按麦克劳林公式展开至n=7.有φ(0)=0,[*],有φ
’
(x)(1﹢x
2
)=1,记φ
’
(x)=g(x),得g(x)(1﹢x
2
)=1. 将上式两边对x求n阶导数,由莱布尼茨高阶导数公式,有 g
(n)
(x)(1﹢x
2
)﹢C
n
1
g
(n-1)
(x)?2x﹢C
2
n
g
(n-2)
(x)·2=0, n=2,3,…, 以x=0代入,得 g
(n)
(0)﹢n(n-1)g
(n-2)
(0)=0, g
(n)
(0)=-n(n-1)g
(n-)
=(0), 即 φ
(n﹢1)
(0)=-n(n-1)φ
(n-1)
(0),n=2,3,…. (*) 由于已有φ(0)=0,φ
’
(0)=1,φ
”
(0)=0,再由递推公式(*)得 [*](0)=2φ
’
(0)=-2,φ
(4)
(0)=0, φ
(5)
(0)=-12[*](0)=24,φ
(6)
(0)=0, φ
(7)
(0)=-30φ
(5)
(0)=-720. [*]
解析
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考研数学二
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