2. 考研
  3. 设a，b，n都是常数，f(x)＝arctan x－．已知存在，但不为零，求n的最大值及相应的a，b的值．

设a，b，n都是常数，f(x)＝arctan x－．已知存在，但不为零，求n的最大值及相应的a，b的值．

admin2018-12-21  91
问题 设a，b，n都是常数，f(x)＝arctan x－．已知存在，但不为零，求n的最大值及相应的a，b的值．
选项
答案先将φ(x)=arctan x按麦克劳林公式展开至n＝7．有φ(0)＝0，[*]，有φ’(x)(1﹢x2)＝1，记φ’(x)＝g(x)，得g(x)(1﹢x2)＝1． 将上式两边对x求n阶导数，由莱布尼茨高阶导数公式，有 g(n)(x)(1﹢x2)﹢Cn1g(n－1)(x)?2x﹢C2ng(n－2)(x)·2＝0， n＝2，3，…， 以x＝0代入，得 g(n)(0)﹢n(n－1)g(n－2)(0)＝0， g(n)(0)＝－n(n－1)g(n－)＝(0)， 即 φ(n﹢1)(0)＝－n(n－1)φ(n－1)(0)，n＝2，3，…． (*) 由于已有φ(0)＝0，φ’(0)＝1，φ”(0)＝0，再由递推公式(*)得 [*](0)＝2φ’(0)＝－2，φ(4)(0)＝0， φ(5)(0)＝－12[*](0)＝24，φ(6)(0)＝0， φ(7)(0)＝－30φ(5)(0)＝－720． [*]
解析
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考研数学二

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