[2001年] 交换二次积分的积分次序：∫-10dy∫21-yf(x，y)dx=_________．

admin2021-01-19 74

问题 [2001年] 交换二次积分的积分次序：∫_-1⁰dy∫₂^1-yf(x，y)dx=_________．

选项

答案因一1≤y≤0时，有0≤一y≤1，1≤l—y≤2(上限不超过下限)，因而所给积分不是二重积分的二次积分，二次积分∫_-1⁰dy∫_1-y²f(x，y)dx才是．先由此二次积分确定积分区域D，如图1．5．1.3所示，再交换积分次序写出另一二次积分． [*] 由图1．5．1．3易看出积分区域为D={(x，y)∣—y≤x≤2，一1≤y≤0}．交换积分次序，得到 ∫_-1⁰dy∫_1-y²f(x，y)dx=∫₁²dx∫_1-x⁰f(x，y)dy，上式左端的二次积分与所给积分只差一个符号，故原式=一∫_-1⁰dy∫_1-y²f(x，y)dx=一∫₁²dx∫_1-x⁰f(x，y)dy =∫₁²dx∫₀^1-xf(x，y)dy．

解析

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考研数学二

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