已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式。证明： aij=一Aij ＜=＞ ATA=E，且｜A｜=一1。

admin2019-06-28 66

问题已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式。证明：
a_ij=一A_ij ＜=＞ A^TA=E，且｜A｜=一1。

选项

答案当a_ij=一A_ij时，有A^T=一A^*，则A^TA=一A^*A=一｜A｜E，此时n｜A｜tr(一A^TA)=一[*]a_ij²＜0，即｜A｜＜0。在A^TA=一｜A｜E两边取行列式，得｜A｜=一1。反之，若A^TA=E且｜A｜=一1，则A^*A=｜A｜E=一E=一A^TA=(一A^T)A，于是A^T=一A^*，即a_ij=一A_ij。

解析

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