求微分方程y”-3y’+2y=xex的通解．

admin2022-07-21 38

问题求微分方程y”-3y’+2y=xe^x的通解．

选项

答案所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，并且f(x)是P_m(x)e^λx型(其中P_m(x)=x，λ=2)．对应于齐次线性微分方程的特征方程为r²-3r+2=0，故特征根为r₁=1，r₂=2，从而对应齐次线性微分方程的通解为 [*]=C₁e^x+C₂e^2x 由于λ=1是特征方程的单根，故应设y^*为y^*=x(b₀x+b₁)e^x．把它代入所给方程，得 -2b₀x+2b₀-b₁=x 比较两端x同次幂的系数，得[*]．解得b₀=-1/2，b₁=-1．由此求得一个特解y^*=x(-[*]-1)e^x，从而所求的通解为 y=C₁e^x+C₂e^2x+x(-[*]-1)e^x

解析

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求微分方程的通解．
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