设y(x)是方程y(4)一y"=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).

admin2020-03-16  45

问题 设y(x)是方程y(4)一y"=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).

选项

答案由泰勒公式[*] 当x→0时,y(x)与x3同阶→y(0)=0,y’(0)=0,y"(0)=0,y"’(0)=C,其中C为非零常数.由这些初值条件,现将方程y(4)一y"=0两边积分得 ∫0xy(4)(t)dt一∫0xy"(t)dt=0, 即y"’(x)一C—y’(x)=0,两边再积分得y"(x)一y(x)=Cx. 易知,它有特解y*=一Cx,因此它的通解是y=C1ex+C2e-x一Cx. 由初值y(0)=0,y’(0)=0得 C1+C2=0,C1一C2=C[*] 因此最后得[*]其中C为任意非零常数.

解析
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