2. 考研
  3. 设二维随机变量(x，y)在区域D上服从均匀分布，其中D＝{(x，y)｜｜X｜+｜ Y ｜≤1}。又设U＝X+Y，V＝X-Y，试求： (Ⅰ)U和V的概率密度； (Ⅱ)U和V的协方差Cov(U，V)和相关系数。

设二维随机变量(x，y)在区域D上服从均匀分布，其中D＝{(x，y)｜｜X｜+｜ Y ｜≤1}。又设U＝X+Y，V＝X-Y，试求： (Ⅰ)U和V的概率密度； (Ⅱ)U和V的协方差Cov(U，V)和相关系数。

admin2019-11-02  27
问题 设二维随机变量(x，y)在区域D上服从均匀分布，其中D＝{(x，y)｜｜X｜+｜ Y ｜≤1}。又设U＝X+Y，V＝X-Y，试求：
(Ⅰ)U和V的概率密度；
(Ⅱ)U和V的协方差Cov(U，V)和相关系数。
选项
答案区域D实际上是以(－1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，－1)为顶点的正方形区域，D的面积为2，（X,Y）的联合概率密度[*]，可利用[*]的对称性。 (Ⅰ)U＝X+Y，FU(u)＝P{U≤u}＝P｛X+Y≤u}＝[*] 当u<－1时，FU(u)＝0； 当－1≤u≤1时， [*] 当u>1时，FU(u)＝1。 [*] 即U～U[－1，1]。 V＝X－Y，FV(v)＝P{V≤V}＝P{X—Y≤v｝＝[*] 当v<－1时，FV(v)＝0； 当－1≤v≤1时， [*]； 当v>1时，FV(v)＝1。 [*] 即V～U[－1，1]。 (Ⅱ)Cov(U，V)＝E(UV)－E(U)E(V)，显然E(U)＝E(V)＝0，而E(UV)＝E[(X+Y)(X－Y)]＝E(X2－y2)＝E(X2)－E(y2)，由X，Y的对称性得E(X2)＝E(y2)，所以 [*]
解析 本题主要考查概率密度、协方差及相关系数的求法。
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考研数学一

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