设直线L过A(1，0，0)，8(0，1，1)两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω。 (Ⅰ)求曲面∑的方程； (Ⅱ)求Ω的形心坐标。

admin2018-05-25 64

问题设直线L过A(1，0，0)，8(0，1，1)两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω。
(Ⅰ)求曲面∑的方程；
(Ⅱ)求Ω的形心坐标。

选项

答案(Ⅰ)由已知，[*]=(一1，1，1)，则直线方程为 [*] 对任意一点M(x，y，z)∈∑，对应于L上的点M(x₀，y₀，z)，于是有x²+y²=x₀²+y₀²。由直线方程表达式得[*]于是得曲面方程表达式x²+y²=(1一z)²+z²，即∑：x²+y²=2z²—2z+1。 (Ⅱ)由三的对称性[*]=0。而 [*] 其中D_z={(x，y)｜x²+y²≤2z²—2z+1}，故[*]。

解析

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考研数学一

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